Контрольная работа 4: вариант 9

  • ID: 11471 
  • 6 страниц

Фрагмент работы:

№ 139. Найти неопределённый интеграл. В пунктах а) и б) результаты проверить

дифференцированием.

а)...

Проверка:...

б)

Проверка:...

в)...

Решая систему уравнений, получим:...

Ответ:...

г)

№ 149. Вычислить интеграл или доказать расходимость несобственного интеграла.

интеграл сходится.

№ 159. Вычислить длину кардиоиды...

В полярной системе координат длинна дуги вычисляется по формуле:...

причем....

Тогда:...

Получим:

Ответ:...

№ 169. Найти общее решение...

Данное уравнение является однородным. Замена... или....

Подставим в исходное уравнение и получим уравнение вида:

или.......

интегрируя обе части равенства, получим:....

Тогда....

Используя замену, получим:...

Общее решение примет вид:...

№ 179. Найти общее решение дифференциального уравнения....

Данное уравнение является линейным относительно переменной y. Тогда решение уравнения будет искать в виде....

Получим после подстановки:.... (1)

Пусть..., тогда.... Интегрируя обе части равенства, получим:

или..., где........ Подставляя в (1), получим:

или..., интегрируя обе части равенства, получим:....

Тогда...

Общее решение примет вид:....

№ 189. Найти общее решение... (1)

Уравнение не содержит явно..., поэтому сделаем замену......, тогда

уравнение примет вид:... - уравнение линейно относительно переменной z.

Замена.... Имеем....

Пусть.... Интегрируя обе части равенства, получим:

или..., где........ Подставляя в (1), получим:... или..., интегрируя обе части равенства, получим:....

Тогда..., но......

Общее решение примет вид:....

№ 199. Найти общее решение... при начальных условиях

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

- корень кратности 2. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:.........

Подставляем и получим:..., откуда....

Тогда.... Общее решение:... и....

Ищем решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Находим, что.......

Окончательно, получим:...

№ 209. Найти общее решение... системы дифференциальных уравнений.

Дифференцируем первое уравнение и подставляем в первое:..., но..., тогда....

Получим.... Составим характеристическое уравнение

Тогда.... Соответственно...

Общее решение примет вид:...

№ 219. Дано.... Показать, что....

Вычислим:

Тогда:... верно.

№ 229. Найти наименьшее и наибольшее значение функции

в области D:...

Построим исследуемую область:

Ищем критические точки внутри области:

Решением системы уравнений является точка... и....

Исследуем поведение на границе:

1. При......... или...

Точка...

2. При.......... Точка рассмотрена...

3. При................

Получим точки....

4. В условных точках:

Сравнивая значения..., получим, что

Наибольшее значение....

Наименьшее значение...

Определим характер критических точек... и....

Проверим достаточные условия:

значит... точка экстремума и это максимум так как....

значит...не является точкой экстремума.

Ответ:....