Контрольная работа 3, 4. Найти неопределённый интеграл. В пунктах а) и б) результаты проверить

  • ID: 11410 
  • 6 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 3, 4. Найти неопределённый интеграл. В пунктах …

№ 139. Найти неопределённый интеграл. В пунктах а) и б) результаты проверить

дифференцированием.

а)…

Проверка:…

б)

Проверка:…

в)…

Решая систему уравнений, получим:…

Ответ:…

г)

№ 149. Вычислить интеграл или доказать расходимость несобственного интеграла.

…интеграл сходится.

№ 159. Вычислить длину кардиоиды…

В полярной системе координат длинна дуги вычисляется по формуле:…

…, причем….

Тогда:…

Получим:

Ответ:…

№ 169. Найти общее решение…

Данное уравнение является однородным. Замена…или….

Подставим в исходное уравнение и получим уравнение вида:

…или…,….

…, интегрируя обе части равенства, получим:….

…,…. Тогда….

Используя замену, получим:…

Общее решение примет вид:…

№ 179. Найти общее решение дифференциального уравнения….

Данное уравнение является линейным относительно переменной y. Тогда решение уравнения будет искать в виде….

Получим после подстановки:…. (1)

Пусть…, тогда…. Интегрируя обе части равенства, получим:

…или…, где….…. Подставляя в (1), получим:

…или…, интегрируя обе части равенства, получим:….

…. Тогда…

Общее решение примет вид:….

№ 189. Найти общее решение…(1)

Уравнение не содержит явно…, поэтому сделаем замену…,…, тогда

уравнение примет вид:…- уравнение линейно относительно переменной z.

Замена…. Имеем….

Пусть…. Интегрируя обе части равенства, получим:

…или…, где….…. Подставляя в (1), получим:…или…, интегрируя обе части равенства, получим:….

…. Тогда…, но…,…

Общее решение примет вид:….

№ 199. Найти общее решение…при начальных условиях

….

Решаем однородное уравнение:…. Составим характеристическое уравнение

…,…,…- корень кратности 2. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:….

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:…,…,…

Подставляем и получим:…, откуда….

Тогда…. Общее решение:…и….

Ищем решение, удовлетворяющее начальным условиям…:

…,…,…

Находим, что…,….

Окончательно, получим:…

№ 209. Найти общее решение…системы дифференциальных уравнений.

Дифференцируем первое уравнение и подставляем в первое:…, но…, тогда….

Получим…. Составим характеристическое уравнение

…,…. Тогда…. Соответственно…

Общее решение примет вид:…

№ 219. Дано…. Показать, что….

Вычислим:

…,…,…,…

Тогда:…верно.

№ 229. Найти наименьшее и наибольшее значение функции

…в области D:…

Построим исследуемую область:

Ищем критические точки внутри области:

Решением системы уравнений является точка…и….

Исследуем поведение на границе:

1. При…,…,…или…

Точка…

2. При…,…,…. Точка рассмотрена…

3. При…,…,…,…,….

Получим точки….

4. В условных точках:

…,…

…,…

Сравнивая значения…, получим, что

Наибольшее значение….

Наименьшее значение…

Определим характер критических точек…и….

Проверим достаточные условия:

….

…, значит…точка экстремума и это максимум так как….

…, значит…не является точкой экстремума.

Ответ:….