Контрольная работа 1, 2: вариант 5

  • ID: 11322 
  • 13 страниц

Фрагмент работы:

К.Р. №1.

№115.

-7 -8 -24 1 -12 5

C=AB= -8 -9 -26 * -1 17 -7 =

11 12 33 0 -2 1

-7+8 84-136+48 -35+56-24 1 -4 -3

= -8+9 96-153+52 -40+63-26 = 1 -5 -3

11-12 -132+204-66 55-84+33 -1 6 4

Найдем обратную матрицу. Для этого найдем определитель и алгебраические дополнения:

1 -4 -3 1 -4 -3

det C= 1 -5 -3 = 0 -1 0 = -1-0 = -1

-1 6 4 0 2 1

C11=(-1)1+1 -5 -3 = -2 C21=(-1)2+1 -4 -3 = -2 C31=(-1)3+1 -4 -3 = -3

6 4 6 4 -5 -3

C12=(-1)1+2 1 -5 = -1 C22=(-1)2+2 1 -3 = 1 C32=(-1)3+2 1 -3 = 0

-1 4 -1 4 1 -3

C13=(-1)1+3 1 -3 = 1 C23=(-1)2+3 1 -4 = -2 C33=(-1)3+3 1 -4 = -1

-1 4 -1 6 1 -5

Тогда

Проверка:

1 -4 -3 2 2 3

C*C-1= 1 -5 -3 * 1 -1 0 =

-1 6 4 -1 2 1

2+2-3 -8-10+18 -6-6+12 1 0 0

= 1-1 -4+5 -3+3 = 0 1 0

-1+2-1 4-10+6 3-6+4 0 0 1

Найдем решение системы CX=и с помощью обратной матрицы.

2 2 3 3 6-2+6 10

X=С-1b= 1 -1 0 * -1 = 3+1 = 4

-1 2 1 2 -3-2+2 -3

Таким образом, решением системы будут числа: x=10, y=4, z=-3.

№125.

Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее методом Гаусса:

1 0 2 3 6 ~ 1 0 2 3 6 ~ 1 0 2 3 6

-2 1 1 2 2 0 1 5 8 14 0 1 5 8 14

0 1 5 8 14 0 1 5 8 14 0 0 0 0 0

4 -1 3 4 10 0 -1 -5 -8 -14 0 0 0 0 0

Число ненулевых строк как основной, так и расширенной матриц, равно 2, поэтому Rg A = Rg A* =2 и по теореме Кронекера-Капелли система совместна. Ранг основной матрицы равен 2, поэтому в системе есть 2 базисных и 4-2=2 свободная переменная. Выберем в качестве свободной переменную x3 и x4. Найдем общее решение неоднородной системы:

Из общего решения системы найдем какое-нибудь частное решение. Для этого подставим вме-сто свободной переменной какое-нибудь значение, например, x3=1 и x4=1.

Получим частное решение:….

№135.

Даны:…={0;-1;0},…={2;1;-2},…={3;-3;-1}

Найдем координаты векторов:

…={2;2;-2}…={3;-2;-1}…={1;-4;1}

а) скалярное произведение (…+2…)(…-…):

…-2…={2;2;-2}-{6;-6;-2}={-4;8;0}

2…+…={-4;-4;4}+{1;-4;1}={-3;-8;5}

(…-2…)(2…+…)={-4;8;0}{-3;-8;5}=-4(-3)+8(-8)+05=-52

б) векторное произведение (…-2…)(2…+…):

=…

8 0 -…

-4 0 +…

-4 8 =40…+20…+56…

(…-2…)(2…+…)=

-4 8 0 -8 5 -3 5 -3 -8

-3 -8 5

(…+2…)(…-…)={40;20;56}

в) смешанное произведение………:

2 2 -2

………=

3 -2 -1 =0+54-24-30=0

1 -4 1

№145.

Даны:…={-1;2},…={1;5},…={3;-4}

Найдем координаты точки М как середины отрезка А2А3:

Запишем уравнение медианы А1М по 2 точкам:

3x+6y-9=0

x+2y-3=0 (А1М)

Найдем угловой коэффициент стороны А2А3:

Т.к. высота А1Н перпендикулярна стороне А2А3, то по условию перпендикулярности двух пря-мых

Составим уравнение высоты А1Н по известной точке и угловому коэффициенту:

y-y0=k(x-x0)

y-2=…(x+1)

9y-18=2x+2

2x-9y+20=0 (А1Н)

№155.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку…и через прямую….

Возьмём точку…на прямой. Направляющий вектор…

Вычислим вектор….

Найдём координаты нормального вектора…:….

Составим уравнение плоскости:…

…- уравнение плоскости.

№164.

….

1) Построим линию по точкам. Составим таблицу для построения:

i …

0 0 12,00

1 15 11,6

2 30 10,58

3 45 9,28

4 60 8,0

5 75 6,89

6 90 6,0

7 105 5,31

8 120 4,8

9 135 4,43

10 150 4,19

11 165 4,05

12 180 4,0

13 195 4,05

14 210 4,19

15 225 4,43

16 240 4,8

17 255 5,31

18 270 6,0

19 285 6,89

20 300 8,0

21 315 9,28

22 330 10,58

23 345 11,6

24 360 12,00

Построим график линии:

2) Найдем уравнение линии в декартовой системе координат, воспользовавшись формулами:

Подставим эти формулы в уравнение линии:

Получилось уравнение эллипса с центром С(4;0) большой полуосью a=8 и малой полуосью b=….

Построим график:

№175.

а)…

б) Модуль z:…

Аргумент z:…

в) тригонометрическая форма:

показательная форма:

г) найдем z3 по формуле:

д) Извлечение корня n-й степени из комплексного числа выполняется по формуле:

…, k=0,1,…,n-1

Изобразим полученные корни точками на плоскости:

К.Р. №2.

№205.

a)…b)…

c)…

Обозначим…, тогда…

корнями уравнения являются…, но так как…, то….

№215.

а)…

b)…с)…

№225.

а) найдем область определения функции…

D(x)=(-;0)(0;+)

б) x=0 является точкой разрыва. Определим характер разрыва

Т.к. оба односторонних предела конечны, но не равны между собой, то в точке x=0 функция имеет разрыв I рода, или скачок.

в) функцию нельзя доопределить так как…

№235.

…,…

Уравнение касательной имеет вид:

Тогда уравнение касательной будет иметь вид:

Уравнение нормальной прямой будет иметь вид:

Запишем дифференциалы:

…,…, тогда в точке…

…,…

№245.

…, продифференцируем обе части равенства:

…или….

Тогда….

№255.

Преобразуем функцию:

Воспользуемся разложением в ряд Тейлора функции….

Тогда…

Ограничившись девятью первыми, отличными от 0, членами, получим:

№265.

a)…

Обозначим…, тогда….

Тогда…

б)…

№275.

…x[-3;6]

…при…, …,…

…не существует при…и…

Таким образом, на интервале [0;4]…,…

№285.

Возьмём произвольную точку…на гиперболе…

Тогда…

Найдём минимум функции…

…,…при………

…. Искомая точка…

№295.

а)…

1. Область определения функции.

D(x) = (-;0)(0;+)

2. Четность и нечетность функции.

…,  функция свойствами четности или нечетности не обладает.

3. Асимптоты.

Функция не определена в точке x = 0. Исследуем характер разрыва:

Таким образом, точке x = 0 – разрыв 2-го рода.

а) x = 0 – вертикальная асимптота

б) Горизонтальных асимптот нет так как:

в) наклонные

y=kx+b

Наклонная асимптота y = x.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, получим, что таких точек нет.

С осью OX: полагаем y=0, тогда…, ….

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

…при…, получим x=1, x=2, x=-3,….

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-;-3) -3 (-3;0) 0 (0;1) 1 (1;2) 2 (2;+)

+ 0 - 0 + 0 - 0 +

y возрастает max

ymax=…

убывает 0 возрастает max

ymax=…

убывает min

ymin=…

возрастает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

…при…и…то есть x=…

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-;0) 0 (0;…)

(…;+)

- 0 - 0 +

y выпукла Не суще-ствует выпукла перегиб

yпер=4,91 вогнута

Построим график функции

б)…

1. Область определения функции.

x(0;+)

2. Четность и нечетность функции.

…,  функция свойствами четности или нечетности не обладает.

3. Асимптоты.

а) вертикальных нет, т.к. нет точек разрыва

б) горизонтальные

Горизонтальных асимптот нет

в) наклонные

y=kx+b

Наклонных асимптот при x+ нет.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда таких точек нет так как x >0.

С осью OX: полагаем y=0, тогда таких точек нет, так как переменную x нельзя явно вычислить.

5. Возрастание, убывание, точки экстремумов.

Найдем производную функции.

…, …,  x = -1, x = 1,…

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (0;1) 1 (1;+)

- 0 +

y убывает min

ymin=1 возрастает

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Найдем вторую производную

…, …, точек перегиба нет так как…

Т.к.вторая производная всегда положительна, то график функции является вогнутым

Построим график функции