Вариант 10: 9 задач. Каждая буква может быть напечатана неправильно с вероятностью р

  • ID: 01126 
  • 11 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 10: 9 задач. Каждая буква может быть напечатана неправильн…

Задание 1.

Текст содержит 20000 букв. Каждая буква может быть напечатана неправильно с вероятностью р = 0,00005. Найти вероятность появления в тексте не менее 3-х опечаток.

Решение

Имеем схему Бернулли с большим числом испытаний n=20000 и вероятностью «успеха», близкой к нулю, р=0,00005. Для нахождения искомой вероятности применяем формулу Пуассона.

Найдем вероятность того, что опечатка произойдет не более 2 раз:

…Тогда вероятность того, что в тексте будет не менее трех опечаток, составит:

…=…

Задание 2.

Подброшены два кубика. Установить, зависимы или независимы следующие события: А = (разность очков равна четырем); В = (выпала хотя бы одна шестерка). Вычислить условную вероятность Р(А/В).

Решение

Определим общее число элементарных исходов испытания, состоящего в бросании двух кубиков:

N=6∙6=36

Число исходов, благоприятствующих событию А, составляет:

N(A)=4

Найдем вероятность А, используя классическое определение вероятности:

…=…

Число исходов, благоприятствующих событию В, составляет:

N(В)=12

Найдем вероятность В, используя классическое определение вероятности:

…=…

События А и в независимы, если выполняется условие:

Р(АВ)=Р(А)Р(В)

Найдем Р(АВ)=2/36=0,055

Р(А)Р(В)=0,111∙0,333-0,037≠Р(АВ)=0,055

События А и В не являются независимыми.

Р(А/В)=Р(АВ)/Р(А)=0,055/0,111=0,5

Задание 3.

По телетайпу передается текст из 10000 знаков. Вероятность искажения одного знака равна 0,0001. Искажения - независимые, события. Найти вероятности следующих событий: А = (текст передан без искажений); В = (будет искажено не более одного знака); С = (будет искажено более одного знака).

Решение

Имеем схему Бернулли с большим числом испытаний n=10000 и вероятностью «успеха», близкой к нулю, р=0,0001. Для нахождения искомых вероятностей применяем формулу Пуассона.

Задание 4.

Производится стрельба по подвижной цели до первого попадания. Вероятность попадания при одном выстреле р=0,4. На стрельбу отпущено 4 снаряда. Найти математическое ожидание числа израсходованных снарядов. Сколько снарядов будет израсходовано вероятнее всего?

Решение

Пусть Х – число снарядов, израсходованных до первого попадания. Найдем закон распределения Х:

Найдем математическое ожидание Х:

Вероятнее всего будет израсходовано 2 снаряда.

Задание 5.

Дана функция распределения с.в. X

Найти постоянные b и с; плотность f(x); м.о., вероятности Р(х > 2) и Р(х<0).

Решение

Найдем плотность распределения с.в. Х:

Для нахождения параметра b воспользуемся свойством функции распределения:

b= 0,25

Имеем:

Найдем математическое ожидание:

Задание 6.

С.в. X - ошибка вольтметра имеет нормальное распределение с дисперсией 16 мВ2. Систематическая составляющая равна 1,5 мВ. Найти вероятность того, что ошибка будет более 6 мВ.

Решение

Найдем искомую вероятность при помощи формулы:

Задание 7.

Сделано 5 измерений физической величины X с помощью прибора, не имеющего систематической ошибки. Получены следующие результаты: 92, 94, 103, 105, 106. Определить 95 % - ный доверительный интервал для м.о., если:

а) с.к.о. прибора известно и равно 3;

б) с.к.о. неизвестно.

Решение

Найдем выборочную среднюю:

Найдем оценку дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение:

…5,831

При известном с.к.о. доверительный интервал для средней составит:

При неизвестном с.к.о. доверительный интервал для средней составит:

где…- квантиль распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы, и уровнем значимости α.

Имеем:

Задание 8.

Получены следующие результаты измерений концентрации: 1,2; 1,27; 1,33; 1,19; 1,09; 1,24. Считаем результаты нормальными величинами. Построить 95%-й доверительный интервал для точного значения концентрации

а) если дисперсия концентрации известна и равна 0,003;

б) дисперсия неизвестна.

Решение

Найдем выборочную среднюю:

Найдем оценку дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение:

…0,074

При известной дисперсии доверительный интервал для средней составит:

При неизвестной дисперсии доверительный интервал для средней составит:

где…- квантиль распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы, и уровнем значимости α.

Имеем:

Задание 9.

Найти доверительную вероятность накрытия интервалам. ( х - 8,0; х + 8,0) неизвестного м.о. при 4-х измерениях. С.к.о. прибора известно и равно 5. То же при 2 измерениях.

Решение

Используем неравенство Чебышева для оценки вероятности:

Имеем при четырех измерениях:

При двух измерениях: