Вариант 04. Разложим дробь на простые слагаемые

  • ID: 10809 
  • 7 страниц

Фрагмент работы:

9.1.4.

Разложим дробь на простые слагаемые:

Тогда

Следовательно...;...;...;...

9.2.4.

1....

Воспользуемся признаком Даламбера:

Т.к. предел больше 1, то ряд расходится.

2....

Рассмотрим ряд с общим членом.... Этот ряд сходится по признаку Даламбера:

Т.к.... и ряд с общим членом... сходится, то исходный ряд сходится абсолютно.

3....

Воспользуемся радикальным признаком Коши:

то ряд сходится абсолютно.

4....

Рассмотрим ряд с общим членом... и положительную функцию..., которая при целых x равна.... Применим интегральный признак Коши:

т.е. несобственный интеграл от функции... сходится, ==> сходится и ряд с общим членом....

Т.к.

то по предельному признаку сравнения исходный ряд сходится абсолютно.

5....

Рассмотрим положительную функцию..., которая при целых x равна.... Применим интегральный признак Коши:

т.е. несобственный интеграл от функции... расходится, ==> расходится и исходный ряд.

6....

Т.к.... и гармонический ряд расходится, то абсолютной сходимости нет.

Поскольку... и ряд с общим членом... знакопеременный, то по признаку Лейбница он сходится.

Рассмотрим сходящийся ряд... и найдем предел:

то по предельному признаку сравнения ряд с общим членом... сходится.

Таким образом, ряд сходится условно.

9.3.4.

а)...

Применим радикальный признак Коши:

Т.е. ряд сходится при...

Найдем решение этих неравенств:

Таким образом, ряд сходится абсолютно при....

При x=1 получаем ряд:...

При x=3 получаем ряд:...

Оба этих ряда расходятся, т.к. для них не выполняется необходимый признак сходимости ряда.

Окончательно получим, что ряд сходится абсолютно при....

б)...

Применим признак Даламбера:

Т.е. ряд сходится при...:

Т.е. ряд сходится абсолютно при...

При x=-2 получаем ряд:...

При x=-... получаем ряд:...

Оба этих ряда расходятся по предельному признаку сравнения, поскольку

а гармонический ряд расходится.

Окончательно получим, что ряд сходится абсолютно при....

9.4.4.

Применим признак Даламбера:

Т.е. ряд сходится при...:

При x=-1 получаем ряд.... Он расходится, т.к. гармонический ряд расходится и....

При x=1 получаем ряд..., который сходится по признаку Лейбница.

Окончательно получим, что ряд сходится при....

Найдем сумму этого ряда.

Дифференцируем ряд...:

Дифференцируя второй ряд повторно, получим:

Тогда

Т.к...., то...

Найдем сумму исходного ряда:

Т.к...., то...

Таким образом, сумма ряда равна...

9.5.4.

Тогда три отличных от нуля члена разложения в ряд Тейлора будут иметь вид:

9.6.4.

Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции...:

Тогда

Коэффициент при... равен..., поэтому..., ==>....

9.7.4.

Для нахождения интеграла воспользуемся разложением в ряд функции...:

тогда

Т.к. пределы интегрирования входят в область сходимости ряда, то его можно почленно интегрировать:

Определим значение интеграла с точностью 0,001:

n=1:...=0,2

=...

=...

Тогда

=...

9.9.4.

- существенно особая, т.к.... не существует.

Точка... для функции... является нулем первого порядка, а для функции... - нулем второго порядка, поэтому..., а..., где функции... и... аналитичны в точке... и не обращаются в нуль в этой точке. Тогда..., где... - аналитична в точке... и..., т.к.....

Таким образом, получаем, что... - полюс первого порядка.

Т.к. главная часть ряда Лорана содержит конечное число членов и старшая отрицательная степень... равна 5, то... - полюс пятого порядка.