Определить множество всех точек, удовлетворяющих данным соотношениям

  • ID: 10502 
  • 6 страниц

Фрагмент работы:

Определить множество всех точек, удовлетворяющих данным соотношени…

№1.

Определить множество всех точек, удовлетворяющих данным соотношениям, и построить их на комплексной плоскости.

Решение:

Эти два неравенства определяют внутреннюю часть угла, лежащего между прямыми... и....

№2.

Вычислить значения алгебраических функций (ответ дать в алгебраической форме).

a)... b)...

Решение:

a) извлечение корня n-й степени из комплексного числа выполняется по формуле:

=...

находим из выражений:....... Значит...

Тогда:

b)

№4.

Найти значение параметра a, при котором данная функция является гармонической, и найти аналитическую функцию f(z), удовлетворяющую условию f(z0)=w0, действительной u(x,y) или мнимой v(x,y) частью которой является данная функция.

Решение:

Чтобы функция была гармонической, должно выполняться равенство:

Тогда

==>...

Из условий... и... находим:

(1)

(2)

Интегрируем первое уравнение по x:

Продифференцируем полученное выражение по y и подставим во второе уравнение:

==>

Построим аналитическую функцию:

Определим постоянную С из условия f(0)=5:

Тогда

№5.

Вычислить интегралы (замкнутые кривые обходятся против часовой стрелки).

a)..., l - отрезок прямой от точки z=0 до точки z=1-i; b)....

Решение:

a)..., l - отрезок прямой от точки z=0 до точки z=1-i;

Перейдем к криволинейным интегралам по формуле:

Учитывая, что..., получим:

Уравнение прямой в данном случае имеет вид:..., ==>.... Учитывая, что 0?x?1, получим:

b)

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:....

№8.

Вычислить интеграл либо с помощью интегральных формул Коши, либо с помощью вычетов.

Решение:

Подынтегральная функция аналитична везде, кроме точки z0=0.

Воспользуемся интегральной формулой Коши:

Тогда

№9.

Найти изображение: a) оригинала f(t), используя таблицу оригиналов и изображений и указать примененные свойства; b) оригинала h(t), заданного графически.

a)... b)

Решение:

a) воспользуемся следующими свойствами:

интегрирование оригинала:...

дифференцирование изображения:...

Т.к...., то....

Воспользовавшись свойством дифференцирования изображения, получим:

Воспользовавшись свойством интегрирования оригинала, получим:

b)

Зададим функцию f(t) аналитически:

Запишем эту функцию одним выражением с помощью функции Хевисайда:

Используя теорему запаздывания, получим:

№10.

Найти оригинал изображения..., пользуясь таблицей оригиналов и изображений.

Решение:

Разложим дробь на простые слагаемые:

Имеем систему для нахождения констант A, B и C:

Тогда оригинал получается применением теоремы запаздывания к оригиналу для изображения

Окончательно получим:

№11.

№622.

а)...

Перейдем к уравнению в операционной форме:

Для перехода от изображения к оригиналу применим вторую теорему разложения. Корни знаменателя... и... - простые. Для восстановления оригинала используем формулу:

В случае простого корня вычеты удобно вычислять по формуле:

Тогда