Шифр 83: 5 задач. Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами

  • ID: 10031 
  • 7 страниц

Фрагмент работы:

Шифр 83: 5 задач. Показать, что система линейных уравнений имеет е…

Задача 8.

Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами: а) по правилу Крамера; б) матричным способом

Решение:

а) решим эту систему по формулам Крамера

Найдем главный определитель системы

-4 -2 3

= 3 -5 -4 = 20+45-16-30-80+6 = -55

-2 5 1

Т.к. определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение. Найдем его по правилу Крамера

31 -2 3

1= -6 -5 -4 = -155-90-88-165+620-12 = 110

-11 5 1

-4 31 3

2= 3 -6 -4 = 24-99+248-36+176-93 = 220

-2 -11 1

-4 -2 31

3= 3 -5 -6 = -220+465-24-310-120-66 = -275

-2 5 -11

б) решим эту систему матричным методом. В этом случае решение находится по формуле:

X=A-1B

Найдем алгебраические дополнения:

A11=(-1)1+1 -5 -4 = 15 A21=(-1)2+1 -2 3 = 17 A31=(-1)3+1 -2 3 = 23

5 1 5 1 -5 -4

A12=(-1)1+2 3 -4 = 5 A22=(-1)2+2 -4 3 = 2 A32=(-1)3+2 -4 3 = -7

-2 1 -2 1 3 -4

A13=(-1)1+3 3 -5 = 5 A23=(-1)2+3 -4 -2 = 24 A33=(-1)3+3 -4 -2 = 26

-2 5 -2 5 3 -5

Задача 19.

Пользуясь методом Гаусса, найти общее решение системы линейных уравнений, а также два частных ее решения, одно из которых базисное.

Решение:

Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее методом Гаусса:

-3 -5 1 -7 ~ -3 -5 1 -7 ~ -3 -5 1 -7

15 28 -8 35 0 3 -3 0 0 1 -1 0

-3 -20 16 -7 0 -15 15 0 0 0 0 0

-15 -22 2 -35 0 3 -3 0 0 0 0 0

По виду этой матрицы заключаем, что система совместная и неопределенная. Система, соответствующая полученной матрице, имеет вид:

Выберем в качестве свободной переменную x3 и перенесем слагаемые с x3 в правую часть.

Решая эту систему, находим:

Получили общее решение системы.

Базисное решение системы. Полагаем x3=0, тогда

Найдем еще какое-нибудь решение системы. Пусть x3=1, тогда:

Задача 24.

Решить графически задачу линейного программирования.

Z=4x1+x2max

Решение:

Решим задачу графическим методом. Для этого составим уравнения граничных прямых и построим их в одной системе координат.

I. x1-x2=2

x1 3 2

x2 1 0

II. x1+x2=4

x1 0 4

x2 4 0

III. x1+3x2=5

x1 0 2

x2 5/3 1

IV. 2x1+x2=2

x1 0 1

x2 2 0

Каждая из прямых делит плоскость на две полуплоскости. На основе знаков неравенств определяем, что область допустимых решений – это многоугольник ABCD. Строим вектор (4;1) и прямую 4x1+x2=0. Перемещаем прямую по направлению вектора. Точкой выхода из области допустимых решений является точка C. Ее координаты определяются как пересечение прямых, заданных уравнениями 1 и 3:

Т.е. точка C имеет координаты C( ; ). Найдем максимальное значение целевой функции:

Zmax=4x1+x2=4 + =

Задача 33.

На трех базах, имеется груз в количестве 150, 230, 220 единиц. Этот груз нужно перевезти в пять, пунктов в количестве 170, 130, 90, 100, 110 единиц соответственно. Затраты на перевозку груза между пунктами поставок и потребления заданы матрицей тарифов :

Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

Решение:

Запишем данные задачи в виде матрицы перевозок.

bj

ai 1 2 3 4 5

170 130 90 100 110

1 150 14 6 5 9 5

2 230 17 10 8 11 4

3 220 15 11 7 13 8

Проверим, является ли задача закрытой:

=150+230+220=600

=170+130+90+100+110=600

=,  транспортная задача закрытая.

Заполним матрицу перевозок методом минимального тарифа.

bj

ai 1 2 3 4 5 i

170 130 90 100 110

1 150 14 60 6 90 5 9 5 0

2 230 17 70 10 8 50 11 110 4 4

3 220 170 15 11 7 50 13 8 6

j 9 6 5 7 0

Стоимость перевозок при таком плане

Z=660+590+1070+1150+4110+15170+1350=5700 тыс. руб.

Проверим план на оптимальность методом потенциалов. Для этого найдем потенциалы строк и столбцов. Составим систему уравнений для заполненных клеток.

Пусть 1=0, тогда 2=4

3=6

1=9

2=6

3=5

4=7

5=0

Проверим на оптимальность пустые клетки:

Клетка ( 1, 1): 0+ 9= 9< 14

Клетка ( 1, 4): 0+ 7= 7< 9

Клетка ( 1, 5): 0+ 0= 0< 5

Клетка ( 2, 1): 4+ 9= 13< 17

Клетка ( 2, 3): 4+ 5= 9> 8

Клетка ( 3, 2): 6+ 6= 12> 11

Клетка ( 3, 3): 6+ 5= 11> 7

Клетка ( 3, 5): 6+ 0= 6< 8

Выберем в качестве неоптимальной клетку (3;3) и перейдем к следующей матрице перевозок.

bj

ai 1 2 3 4 5 i

170 130 90 100 110

1 150 14 110 6 40 5 9 5 0

2 230 17 20 10 8 100 11 110 4 4

3 220 170 15 11 50 7 13 8 2

j 13 6 5 7 0

Найдем потенциалы.

Пусть 1=0, тогда 2=4

3=2

1=13

2=6

3=5

4=7

5=0

Проверим на оптимальность пустые клетки:

Клетка ( 1, 1): 0+ 13= 13< 14

Клетка ( 1, 4): 0+ 7= 7< 9

Клетка ( 1, 5): 0+ 0= 0< 5

Клетка ( 2, 1): 4+ 13= 17= 17

Клетка ( 2, 3): 4+ 5= 9> 8

Клетка ( 3, 2): 2+ 6= 8< 11

Клетка ( 3, 4): 2+ 7= 9< 13

Клетка ( 3, 5): 2+ 0= 2< 8

Выберем в качестве неоптимальной клетку (2;3) и перейдем к следующей матрице перевозок.

bj

ai 1 2 3 4 5 i

170 130 90 100 110

1 150 14 130 6 20 5 9 5 0

2 230 17 10 20 8 100 11 110 4 3

3 220 170 15 11 50 7 13 8 2

j 13 6 5 8 1

Найдем потенциалы.

Пусть 1=0, тогда 2=3

3=2

1=13

2=6

3=5

4=8

5=1

Проверим на оптимальность пустые клетки:

Клетка ( 1, 1): 0+ 13= 13< 14

Клетка ( 1, 4): 0+ 8= 8< 9

Клетка ( 1, 5): 0+ 1= 1< 5

Клетка ( 2, 1): 3+ 13= 16< 17

Клетка ( 2, 2): 3+ 6= 9< 10

Клетка ( 3, 2): 2+ 6= 8< 11

Клетка ( 3, 4): 2+ 8= 10< 13

Клетка ( 3, 5): 2+ 1= 3< 8

Условие оптимальности выполняется для всех пустых клеток, поэтому план оптимальный. Стоимость перевозок при таком плане минимальна и равна:

Zmin=6130+520+820+11100+4110+15170+750=5480 тыс. руб.

Задача 48.

Составить экономико-математическую модель. Найти решение задачи линейного программирования при помощи средств Excel на ПК.

В суточном рационе кормления крупного рогатого скота должно быть не менее 20 кормовых единиц, не менее 2000 г белков и не менее 100 г кальция. Для кормления используют сено, силос, корнеплоды и концентраты. Содержание веществ в 1 кг каждого вида корма, а также его себестоимость представлены в таблице. Составить кормовой рацион минимальной стоимости.

Содержание питательных веществ в 1 кг корма Корм

Сено Силос Корне-плоды Концен-трат

Кормовая единица 0,5 0,2 6 0,8

Белки, г 40 10 12 200

Кальций, г 5 4 3 1

Себестоимость 1 кг корма, ден. ед. 2 1 2 4

Решение:

Пусть x1, x2, x3, x4 – количество корма каждого вида. Очевидно, что x10, x20, x30, x40.Составим ограничения по каждому питательному веществу:

кормовая единица: 0,5x1+0,2x2+6x3+0,8x420

белки: 40x1+10x2+12x3+200x42000

кальций: 5x1+4x2+3x3+x4100

Требование минимизации себестоимости:

f=2x1+x2+2x3+4x4min

Требуется найти x1, x2, x3, x4, минимизирующие целевую функцию и удовлетворяющую указанным ограничениям, т.е. решить задачу линейного программирования:

f=2x1+x2+2x3+4x4min

Решим эту задачу с помощью Excel.

Вводим в ячейки таблицы исходные данные:

A B C D E F G

1 0,5 0,2 6 0,8 0 20

2 40 10 12 200 0 2000

3 5 4 3 1 0 100

4 2 1 2 4

5

6 x1 x2 x3 x4 f

7 0 0 0 0 0

8

9

10

В ячейках E1-E3 и E7 введены формулы.

E1: =СУММПРОИЗВ(A1:D1;A7:D7)

E2: =СУММПРОИЗВ(A2:D2;A7:D7)

E3: =СУММПРОИЗВ(A3:D3;A7:D7)

E7: =СУММПРОИЗВ(A7:D7;A7:D7)

Затем даем команду Сервис/Поиск решения:

Задаем следующие параметры:

в поле «Установить целевую ячейку»: $E$7

минимальное значение

в поле «Изменяя ячейки»: $A$7:$D$7

Далее задаем ограничения:

$A$7:$D$70

$E$1:$E$3$F$1:$F$3

Затем нажимаем на кнопку «Выполнить».

Получаем ответ: x1=0, x221,72, x31,432, x48,828, fmin59,896 (ден. ед.)