Вариант 7. Основной целью выполнения контрольной работы является получение знаний и умений по решению задач по различным разделам математики

  • ID: 41159 
  • 14 страниц

Содержание:


Введение

Основной целью выполнения контрольной работы является получение знаний и умений по решению задач по различным разделам математики. Полученные знания и умения в дальнейшем пригодятся при изучении других дисциплин и в будущей профессиональной деятельности.

Контрольная работа состоит из десяти тестовых и восьми практических заданий по курсу "Математика".

Тестовая часть

1. Матричная запись системы линейных уравнений... имеет вид

с)....

2. К линейным операциям над матрицами относятся

a) сумма матриц

с) умножение матрицы на число

3. Координаты нормального вектора прямой... имеют вид

с) (2;-1).

4. Уравнение плоскости, проходящей через точку и два неколлинеарных вектора, определяется формулой

a)...;

5. Если функция y=f(x) дифференцируема на интервале (а; в), т.е. в каждой точке данного интервала имеет производную, и..., то функция y=f(x) на данном интервале

a) убывает;

6. Дифференциальное уравнение вида... называется дифференциальным

a) уравнением с разделяющимися переменными;

7. Первообразной функцией для функции... является функция вида

a)...;

8. Укажите верные свойства, которыми обладает определенный интеграл

a)...;

с)....

9. Достоверное событие - это событие, которое в результате испытания

a) непременно должно произойти;

10. Укажите противоположные события

a) выпал орел;

b) выпала решка;

Практическая часть

Задание 1

Решить систему линейных алгебраических уравнений (а=7)...: а) матричным методом, б) методом Крамера, в) методом Гаусса.

Решение:

а) Матричный метод

Запишем систему линейных алгебраических уравнений в матричном виде, т.е....или....

Решение системы будем искать в виде:....

Обратную матрицу... будем искать по формуле....

1) Найдем определитель матрицы А:

2) Составим союзную матрицу..., элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А, т.е.....

Итак, союзная матрица....

3) Транспонируем союзную матрицу..., т.е. поменяем местами строки и столбцы матрицы

4) Запишем обратную матрицу...:

5) Найдем решение системы Х, где...:

Ответ:...

б) Метод Крамера

Запишем и вычислим определитель основной матрицы системы - главный определитель системы.

(см. матричный метод);

Найдем значение переменной х. Для этого, в главном определителе системы заменим столбец коэффициентов, стоящих при неизвестном х, столбцом свободных членов:

где...

где...

где...

Ответ:...

б) Метод Гаусса

Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду (прямой ход метода Гаусса).

?...?...

Полученную расширенную матрицу запишем в виде системы и найдем неизвестные системы (обратный ход метода Гаусса);

Ответ:...

Задание 2

Даны три вершины параллелограмма АВСD. Найти: а) уравнения всех сторон параллелограмма; б) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС; в) угол С (...=7).

Решение:

а) Составим уравнение сторон АВ и ВС, как прямых проходящих через две данные точки:

(AB):...... (АВ):....

(BС):...... (ВС):....

По определению параллелограмма, стороны AD//ВС и СD//AB. Значит, уравнение стороны AD можно записать в виде.... Найдем коэффициент с из условия принадлежности точки А прямой AD. Координаты точки А удовлетворяют уравнению прямой AD, т.е..... Тогда уравнение прямой AD имеет вид.... Аналогично выводим уравнение стороны CD. СD имеет вид....

б) Составим уравнение высоты АК, опушенной из вершины А на сторону ВС.

Так как..., то направляющий вектор прямой ВС для прямой АК будет являться нормальным вектором (...). По общему уравнению прямой ВС, определим координаты ее направляющего вектора как (-В;А), т.е.....

Уравнение высоты АК запишем по формуле уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору, т.е..... Тогда уравнение АК имеет вид.... (АК) :....

Длину высоты АК найдем по формуле расстояния от точки А до прямой ВС:

с) Найдем угол С, как угол между прямыми ВС и СD. Угол между прямыми - это угол между их нормальными векторами. Зная общие уравнения прямых ВС и СD, определим координаты их нормальных векторов как (А;В). Тогда....

Итак, угол С найдем по формуле.......

Задание 3

По заданным координатам вершин треугольной пирамиды АВСD найти: а) уравнения всех ребер пирамиды; б) уравнения всех граней пирамиды; в) длину высоты, опущенную из вершины D на грань ABC пирамиды (a=7).

Решение:

а) Зная координаты всех вершин пирамиды, запишем уравнения ребер пирамиды, как прямых проходящих через две данные точки:

(AB):......

(BC):...

(AC):......

(DA):......

(DB):...

(DC):...

б) Зная координаты всех вершин пирамиды, запишем уравнения граней пирамиды, как плоскостей проходящих через три данные точки:

Запишем уравнение грани ABC, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки А(1;7;-1), В(5;-3;-1), C(8;3;4) и... по следующей формуле:

(АВС):...

Запишем уравнение грани ADB, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки А(1;7;-1), В(5;-3;-1), D(4;-3;4) и... по следующей формуле:

(АDB):...

Запишем уравнение грани ADC, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки А(1;7;-1), D(4;-3;4), C(8;3;4) и... по следующей формуле:

(АDC):...

Запишем уравнение грани BDC, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки В(5;-3;-1), D(4;-3;4), C(8;3;4) и... по следующей формуле:

(BDС):...

в) Определим длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC, как расстояние от точки D до плоскости АВС пирамиды. Вычислим данное расстояние по формуле:

Ответ: a) (AB):... (BC):...

(AC):... (DA):...

(DB):... (DC):...

б)...;...;...;....

в).......

Задание 4

Вычислить пределы

а)...; б)...; в)...

Решение:

а) Данный предел имеет неопределенность вида.... Избавимся от неопределенности. Для этого, раскроем скобки в числителе и знаменателе дроби и приведем подобные. В результате получим следующий предел......... Вынесем из числителя и знаменателя n2. Тогда......

б) Данный предел имеет неопределенность вида.... Сведем предел к неопределенности..., которая снимается с помощью второго замечательного предела.... Для этого, выражение... приведем к виду.... Тогда....... Сделаем замену... и получим, в результате, следующий предел....

в)...Разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим критические множители, т.е...........

Задание 5

Провести полное исследование функции и построить ее график....

Решение:

При исследовании функции и построении ее графика будем придерживаться выполнения следующих пунктов:

1. Найти область определения функции.

2. Проверить функцию на четность, нечетность.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Найти асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные и наклонные).

5. Найти экстремумы функции и интервалы монотонности.

6. Определить интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика.

7. Построить эскиз графика функции.

Итак

1) Функция определена на всей числовой оси, т.е.....

2) Область определения симметрична относительно Оy, поэтому можно утверждать, что функция четная....

3) Определим точки, где функция пересекает координатные оси: при..., y=1/3, следовательно точка А(0;1/3) - точка пересечения с осью Оy, а значений, при которых у=0 не существует, следовательно точек пересечения с Ох нет.

4) Вертикальных асимптот нет.

Найдем горизонтальные асимптоты. Для этого будем искать пределы:

х=0 - горизонтальная асимптота.

Наклонных асимптот нет.

5) Найдем первую производную функцию y:

Найдем критические точки, то есть приравняем.... Получим....... Точка В(0;1/3) - критическая точка.

Определим знаки первой производной при переходе через критическую точку, используя метод интервалов:

0

При переходе через точку... производная меняет знак с плюса на минус, значит, является точкой локального максимума.

Найдем интервалы монотонности функции. Функция возрастает на интервале... так как на этом интервале производная... и убывает на... так как на этих интервалах производная....

6) Вычислим вторую производную.... Вторая производная обращается в нуль в точке..., следовательно, С(...) и D(...) точки перегиба. Исследовав знаки второй производной при переходе через критические точки с помощью метода интервалов, получаем, что на интервалах... и... вторая производная положительна, следовательно, функция на этом интервале будет выпуклой, а в интервале... вторая производная отрицательная, значит, функция на этом интервале будет вогнутой.

7) Построим эскиз графика функции.

Задание 6

Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить определенный интеграл.

Решение:

Задание 7

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения....

Решение:

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

Найдем частные решения уравнения:.... Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами запишется в виде:...

Найдем первую и вторую производные от функции y:.......

По условию задачи:.......... Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:.... Решая эту систему, находим, что....... Искомое решение задачи Коши запишется в виде:...

Ответ:...

Задание 8

а) В учебной группе 25 студентов, из которых 5 - отличники, 20 - хорошисты. Какова вероятность, что наугад вызванный студент окажется отличником?

Решение:

Пусть событие А - студенты отличники. Тогда... - вероятность того, что вызванный студент окажется отличником.

б) В сборочный цех поступают детали с трех поточных линий. Производительности этих линий относятся как 5:3:2. Вероятность брака для 1-й линии составляет 0,01; для 2-й линии - 0,02; для 3-й линии - 0,03. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь бракована.

Решение:

Обозначим событие А={выбрана бракованная деталь}, Hi={выбранная деталь изготовлена в i цехе}, i=1, 2, 3. Тогда Р(Н1) = 0,5; Р(Н2) = 0,3; Р(Н3) =0,2.

Вероятность попадания бракованной детали в партиях перечисленных заводов - Р (А|H1) = 0,01; Р(A|H2) = 0,02; Р(A|H3) = 0,03.

Учитывая, что событие А произойдет обязательно с одним из событий Нi, образующих полную группу, для нахождения вероятности попадания бракованной лампы, применим формулу полной вероятности:

=...

Список литературы