Вариант 4. Выполнение контрольной работы предполагает изучение и углубление знаний по основам аналитической геометрии и математического анализа

  • ID: 41158 
  • 15 страниц

Содержание:


Введение

Контрольная работа по математике состоит из десяти тестовых и восьми практических заданий.

Выполнение контрольной работы предполагает изучение и углубление знаний по основам аналитической геометрии и математического анализа, а также математической статистики и теории вероятности.

Тестовая часть

1. Результатом выражения... является

a) матрица;

2. Решение матричного уравнения...имеет вид

a)...;

3. Два вектора... перпендикулярны тогда и только тогда, когда

a)...;

4. Укажите общее уравнение прямой в пространстве:

a)...;

5. Функция является непрерывной, если выполняется условие

b)...;

6. Предел вида... называется

a) вторым замечательным пределом;

7. Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами

a)...;

8. Характеристическое уравнение дифференциального уравнения... имеет вид

a)...;

9. Вероятность вынуть цветной шар из урны, содержащей 2 белых, 3 красных и 4 синих шара, равна

b)...;

c) Формула сочетаний из n элементов по m имеет вид

a)...;

Практическая часть

Задание 1

Решить систему линейных алгебраических уравнений (а=4)...: а) матричным методом, б) методом Крамера, в) методом Гаусса.

Решение:

а) Матричный метод

Запишем систему линейных алгебраических уравнений в матричном виде, т.е....или....

Решение системы будем искать в виде:....

Обратную матрицу... будем искать по формуле....

1) Найдем определитель матрицы А:

2) Составим союзную матрицу..., элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А, т.е.....

Итак, союзная матрица....

3) Транспонируем союзную матрицу...,т.е. поменяем местами строки и столбцы матрицы

4) Запишем обратную матрицу...:

5) Найдем решение системы Х, где...:

Ответ:...

б) Метод Крамера

Запишем и вычислим определитель основной матрицы системы - главный определитель системы.

(см. матричный метод);

Найдем значение переменной х. Для этого, в главном определителе системы заменим столбец коэффициентов, стоящих при неизвестном х, столбцом свободных членов:

где...

где...

где...

Ответ:...

б) Метод Гаусса

Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду (прямой ход метода Гаусса).

?...?...

Полученную расширенную матрицу запишем в виде системы и найдем неизвестные системы (обратный ход метода Гаусса);

Ответ:...

Задание 2

Даны три вершины параллелограмма АВСD. Найти: а) уравнения всех сторон параллелограмма; б) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС; в) угол С (...=4).

Решение:

а) Составим уравнение сторон АВ и ВС, как прямых проходящих через две данные точки:

(AB):...... (АВ):....

(BС):...... (ВС):....

По определению параллелограмма, стороны AD//ВС и СD//AB. Значит, уравнение стороны AD можно записать в виде.... Найдем коэффициент с из условия принадлежности точки А прямой AD. Координаты точки А удовлетворяют уравнению прямой AD, т.е..... Тогда уравнение прямой AD имеет вид.... Аналогично выводим уравнение стороны CD. СD имеет вид....

б) Составим уравнение высоты АК, опушенной из вершины А на сторону ВС.

Так как..., то направляющий вектор прямой ВС для прямой АК будет являться нормальным вектором (...). По общему уравнению прямой ВС, определим координаты ее направляющего вектора как (-В;А), т.е.....

Уравнение высоты АК запишем по формуле уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору, т.е..... Тогда уравнение АК имеет вид.... (АК) :....

Длину высоты АК найдем по формуле расстояния от точки А до прямой ВС:

с) Найдем угол С, как угол между прямыми ВС и СD. Угол между прямыми - это угол между их нормальными векторами. Зная общие уравнения прямых ВС и СD, определим координаты их нормальных векторов как (А;В). Тогда....

Итак, угол С найдем по формуле.......

Задание 3

По заданным координатам вершин треугольной пирамиды АВСD найти: а) уравнения всех ребер пирамиды; б) уравнения всех граней пирамиды; в) длину высоты, опущенную из вершины D на грань ABC пирамиды (a=4).

Решение:

а) Зная координаты всех вершин пирамиды, запишем уравнения ребер пирамиды, как прямых проходящих через две данные точки:

(AB):......

(BC):...

(AC):......

(DA):......

(DB):...

(DC):...

б) Зная координаты всех вершин пирамиды, запишем уравнения граней пирамиды, как плоскостей проходящих через три данные точки:

Запишем уравнение грани ABC, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки А(1;4;-1), В(5;-3;-1), C(8;3;4) и... по следующей формуле:

(АВС):...

Запишем уравнение грани ADB, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки А(1;4;-1), В(5;-3;-1), D(4;-3;4) и... по следующей формуле:

(АDB):...

Запишем уравнение грани ADC, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки А(1;4;-1), D(4;-3;4), C(8;3;4) и... по следующей формуле:

(АDC):...

Запишем уравнение грани BDC, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки В(5;-3;-1), D(4;-3;4), C(8;3;4) и... по следующей формуле:

(BDС):...

в) Определим длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC, как расстояние от точки D до плоскости АВС пирамиды. Вычислим данное расстояние по формуле:

Ответ: a) (AB):...

(BC):...

(AC):...

(DA):...

(DB):...

(DC):...

б)...;...;...;....

в).......

Задание 4

Вычислить пределы

а)...; б)...; в)...

Решение:

а) Данный предел имеет неопределенность вида.... Избавимся от неопределенности. Для этого, раскроем скобки в числителе и знаменателе дроби и приведем подобные. В результате получим следующий предел.......... Вынесем из числителя и знаменателя n. Тогда......

б) Данный предел имеет неопределенность вида.... Сведем предел к неопределенности..., которая снимается с помощью второго замечательного предела.... Для этого, выражение... приведем к виду.... Тогда....... Сделаем замену... и получим, в результате, следующий предел....

в) Разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим критические множители, т.е...........

Задание 5

Провести полное исследование функции и построить ее график....

Решение:

При исследовании функции и построении ее графика будем придерживаться выполнения следующих пунктов:

1. Найти область определения функции.

2. Проверить функцию на четность, нечетность.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Найти асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные и наклонные).

5. Найти экстремумы функции и интервалы монотонности.

6. Определить интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика.

7. Построить эскиз графика функции.

Итак

1) Функция определена на всей числовой оси за исключением точки... где знаменатель дроби обращается в нуль, т.е.....

2) Так как область определения не симметрична относительно начала координат, то не имеет смысла говорить о четности (нечетности) функции. Функция общего вида т.к.... и....

3) Определим точки, где функция пересекает координатные оси: при... значение функции не существует, следовательно точки пересечения с осью Оy нет, а при... - точка пересечения с Ох.

4) Точка... является точкой разрыва функции.

Найдем вертикальные асимптоты. Для этого будем искать пределы справа и слева при..........

Если функция в точке... имеет бесконечный разрыв, то прямая... является для графика вертикальной асимптотой.

Найдем горизонтальные асимптоты. Для этого будем искать пределы:

х=0 - горизонтальная асимптота.

Найдем наклонные асимптоты. Будем искать наклонную асимптоту в виде...:

Следовательно, наклонных асимптот нет.

5) Найдем первую производную функции y:

Найдем критические точки, то есть приравняем.... Получим....... Точка В(-2/3;-9/4) - критическая точка.

Определим знаки первой производной при переходе через критические точки, используя метод интервалов:

-2/3 0

При переходе через точку... производная меняет знак с плюса на минус, значит... является точкой локального максимума, причем...

Найдем интервалы монотонности функции. Функция возрастает на интервале... так как на этом интервале производная... и убывает на... так как на этих интервалах производная....

6) Вычислим вторую производную.... Вторая производная обращается в нуль в точке х=-1, следовательно, С(-1;-2) точка перегиба.

7) Построим эскиз графика функции.

Задание 6

Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить определенный интеграл....

Решение:

Найдем неопределенный интеграл... методом интегрирования по частям. Для этого воспользуемся следующим выражением:...

В данном интеграле сделаем следующую замену:

Вычислим определенный интеграл...

Ответ:...=1.

Задание 7

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения....

Решение:

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

Найдем частные решения уравнения:.... Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения третьего порядка с постоянными коэффициентами запишется в виде:...

Найдем первую и вторую производные от функции y:..........

=..........

По условию задачи:................ Получаем систему из трех уравнений с тремя неизвестными:.... Решая эту систему, находим, что......... Искомое решение задачи Коши запишется в виде:...

Ответ:...

Задание 8

Решить вероятностную задачу.

а) В партии из 15 однотипных стиральных машин пять машин изготовлены на заводе А, а 10 - на заводе В. Случайным образом отобрано 5 машин. Найти вероятность того, что две из них изготовлены на заводе А.

Решение:

Пусть событие А - стиральная машина изготовлена на заводе А, событие В - стиральная машина изготовлена на заводе В. Тогда... - вероятность того, что стиральная машина изготовлена на заводе А, а... - вероятность того, что стиральная машина изготовлена на заводе В. Так как события А и В несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий получаем, что..., т.е. 53,3%.

б) Электролампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод производит 30% общего количества электроламп, 2-й - 25%, а 3-й - остальную часть. Продукция 1-го завода содержит 1% бракованных электроламп, 2-го - 1,5%, 3-го - 2%. В магазин поступает продукция всех 3-х заводов. Купленная в магазине лампа оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она произведена 1-м заводом?

Решение:

Обозначим событие А={выбрана бракованная лампа}, Hi={выбранная лампа изготовлена на i заводе}, i=1, 2, 3. Тогда Р(Н1) = 0,3; Р(Н2) = 0,25; Р(Н3) =0,45.

Вероятность попадания бракованной лампы в партиях перечисленных заводов - Р (А|H1) = 0,01; Р(A|H2) = 0,015; Р(A|H3) = 0,02.

Учитывая, что событие А произойдет обязательно с одним из событий Нi, образующих полную группу, для нахождения вероятности попадания бракованной лампы, применим формулу полной вероятности:

=...

По условию событие А произошло, то есть выбрана бракованная лампа. Тогда вероятность гипотезы Н1 - лама изготовлена на первом заводе - находим по формуле Байеса:

(19,05%).

Список литературы