Вариант 18: Часть математика

  • ID: 38380 
  • 9 страниц

Фрагмент работы:

Задание №1.

Решить систему линейных алгебраических уравнений: а) матричным методом; б) методом Крамера.

Решение:

а) решим систему матричным методом. В этом случае решение находится по формуле:

X=A-1?B

Найдем главный определитель системы

5 -1 2

=...

5 1 2

Найдем алгебраические дополнения:

=...

1 2 1 2 -3 -1

=...

5 2 5 2 4 -1

=...

5 1 5 1 4 -3

б) решим эту систему методом Крамера

1 -1 2

=...

2 1 2

5 1 2

=...

5 2 2

5 -1 1

=...

5 1 2

Задание №2.

Даны три вершины треугольника АВС. Составить уравнения трех его сторон; б) медианы, проведенной из вершины С; в) высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.

А(-1;-2), В(2;-5), С(1;-2).

Решение:

а) составим уравнения сторон по двум точкам:

АВ:

АС:

ВС:

б) Найдем координаты точки E как координаты середины отрезка AB.

Запишем уравнение медианы CE по 2 точкам:

в) Высота AD перпендикулярна стороне ВС. По условию перпендикулярности двух прямых

Составим уравнение высоты AD по известной точке и угловому коэффициенту:

=...

y+2=...(x-1)

3y+6=x-1

x-3y-7=0

Задание №3.

По заданным координатам вершин A, B, D A` куба ABCDA`B`C`D`: а) найти координаты остальных вершин куба; в) найти уравнения всех ребер куба; в) найти уравнения всех граней куба.

А(0;0;0), В(5;0;0), D(0;5;0), А`(0;0;-5)

Решение:

а) Найдем координаты остальных вершин куба:

Воспользуемся тем, что по определению грани куба - квадраты. Выпишем равные вектора, т.е. коллинеарные одинаково направленные вектора, длины которых равны:

Используя данные равенства и то, что координаты равных векторов равны, найдем неизвестные вершины куба C, C|, B|, D|:

Пусть...

Найдем координаты точки С из равенства векторов...:

Найдем координаты точки С| из равенства векторов...:

Найдем координаты точки B` из равенства векторов...:

Найдем координаты точки D| из равенства векторов...:

Получим:.............

б) составим уравнения ребер куба по двум точкам:

AB:....

BC:....

CD:....

AD:....

AA`:....

BB`:....

CC`:... ?...

DD`:... ?....

в) Зная координаты всех вершин куба, запишем уравнения граней куба, как плоскостей проходящих через три данные точки:

Запишем уравнение грани ABCD, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки А(0;0;0), В(5;0;0), C(5;5;0) и... по следующей формуле:

(АВСD):....

Запишем уравнение грани A|B|C|D|, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки А|(0;0;-5), В|(5;0;-5), C|(5;5;-5) и...по следующей формуле:

(А|В|С|D`):...

Запишем уравнение грани ABA|B|, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки А(0;0;0), B|(5;0;-5), A|(0;0;-5) и...по следующей формуле:

(АВA|B|`):...

Запишем уравнение грани DCD|C|, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки D(0;5;0), C(5;5;0), C|(5;5;-5) и...по следующей формуле:

(DCD|C|`):...

Запишем уравнение грани ADD|A|, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки A(0;0;0), D(0;5;0), A|(0;0;-5) и...по следующей формуле:

(ADD|A|`):...

Запишем уравнение грани BCC|B|, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки

B(5;0;0), C(5;5;0), C|(5;5;-5) и...по следующей формуле:

(BCC|B|`):...

Задание №4.

Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение:

1. Область определения функции.

x?(-?;2)?(2,+?)

2. Асимптоты.

а) прямая... вертикальная асимптота. Определим тип точки разрыва...:

Таким образом, в точке... - разрыв 2-го рода.

б) горизонтальные

Горизонтальная асимптота....

в) наклонные

y=k?x+b

Наклонных асимптот нет

3. Четность и нечетность функции.

поэтому функция свойствами четности или нечетности не обладает

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда....

С осью OX: полагаем y=0, тогда....

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

Составим таблицу для определения знака производной

x (-?;10/7) 10/7 (10/7;2) 2 (2;+ ?)

y' + 0 - 0 +

y возрастает максимум, ymax=1 убывает нет возрастает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

y"=0, если..., ==> x=-...

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;8/7) 8/7 (8/7;+ ?)

y" + 0 -

y вогнута перегиб

yпер=1/3 выпукла

Построим график функции.

Задание №5. Вычислить определенный интеграл:

Задача 6.

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения:

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

=...

Тогда общее решение уравнения запишется в виде:

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Подставим в уравнения начальные условия y(0)=5, y'(0)=-1:

Частное решение:....

Задача 7.

Три студента сдают экзамен. Вероятность сдачи экзамена 1,2 и 3-го студента равна 0.7,0.8 и 0.9 соответственно. Найти вероятность того, что все три студента сдадут экзамен.

Решение:

Вероятность того, что все три студента сдадут экзамен: