Даны вершины треугольника а(9,3), в (1,9), с (5,11)

  • ID: 37659 
  • 14 страниц

Фрагмент работы:

Задача 1. Даны вершины треугольника А(9;3), В (1;9), С (5;11).

Сделать чертеж и найти:

1) длину стороны АВ;

2) внутренний угол при вершине А;

3) уравнение высоты CD, проведенной через вершину С;

4) уравнение медианы ВЕ, проведенной через вершину В;

5) точку пересечения высоты CD и медианы ВЕ;

6) длину высоты, опущенной из вершины С.

Решение: Начнем решение задачи с выполнения чертежа. Построим точки А(9;3), В (1;9), С (5;11) в прямоугольной системе координат Oxy и, соединив их, получим треугольник АВС. Проведем высоту СD и медиану ВЕ, уравнения которых необходимо найти. Причём..., а точка Е - середина отрезка АС.

1. Длину стороны АВ находим как расстояние между двумя точками А(9;3) и В (1;9):

2. Отметим, что угол А в треугольнике является острым. Тангенс этого угла можно найти по формуле

Найдем угловые коэффициенты прямых:

Тогда....

С помощью калькулятора или по таблице Брадиса определяем, что такое значение тангенса соответствует углу...А...26,60.

3. Уравнение высоты СD запишем в виде уравнения пучка прямых, проходящих через точку С:....

По условию перпендикулярности СD и АВ:...

Ранее (см. п. 2) было найдено:....

Тогда....

Подставим в уравнение..., получим... 4. Медиана ВЕ соединяет вершину В с точкой Е, которая является серединой отрезка АС. Координаты точки Е:

Составим уравнение медианы ВЕ по двум точкам... и..., воспользовавшись формулой:....

5. Координаты точки пересечения высоты CD и медианы ВЕ найдем, решив систему уравнений для прямых СD и ВЕ:

6. Длину высоты найдем как расстояние от точки С до прямой АВ по формуле:...

Уравнение прямой АВ составим, используя уравнение пучка прямых:

где....

Получим....

Тогда....

Задача 2. Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами: а) по правилу Крамера; б) матричным способом

Решение:

а) решим эту систему по формулам Крамера

Найдем главный определитель системы

-3 -2 -4

=...

-2 -4 -1

Т.к. определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение. Найдем его по правилу Крамера

4 -2 -4

=...

2 -4 -1

-3 4 -4

=...

-2 2 -1

-3 -2 4

=...

-2 -4 2

б) решим эту систему матричным методом. В этом случае решение находится по формуле:

X=A-1?B

Найдем алгебраические дополнения:

=...

-4 -1 -4 -1 1 -4

=...

-2 -1 -2 -1 -5 -4

=...

-2 -4 -2 -4 -5 1

а)...

б)...

в)...

г)...

Задача 4.

1. Область определения функции.

x?(-?;+?)

2. Четность и нечетность функции.

f(-x)=(-x)3-10(-x)2+28(-x)-24=-x3-10x2+28x-24??f(x), поэтому функция свойствами четности или нечетности не обладает

3. Периодичность функции.

Данная функция не является периодической как многочлен.

4. Непрерывность функции.

Данная функция является непрерывной на всей области определения как многочлен.

5. Поведение функции на концах области определения.

6. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

=...

=...

Составим таблицу для определения знака производной

x (-?;2) 2 (2;14/3) 14/3 (14/3;+ ?)

y' + 0 - 0 +

y возрастает максимум

ymax=0 убывает минимум

ymin=-9,48 возрастает

7. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

y"=6x-20

=...

x=2

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;10/3) 10/3 (10/3;+ ?)

y" - 0 +

y выпукла перегиб

yпер=-4,72 вогнута

8. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда y=0.

С осью OX: полагаем y=0, тогда.

=...

x1=6 x2=2

9. Дополнительные точки.

=...

Построим график функции

Задача 5.

а)...

Проверка:

б)...

Проверка:

в)...

Проверка:

г)...

Проверка:

д)...

Проверка:

Задача 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2-4x+1 и y=x+1. Сделать чертеж.

Решение: Выполним чертеж кривых y=x2-4x+1 и y=x+1

Построим графики функций

y=x2-4x+1 - парабола.

Вершина параболы...

=...

y=x+1 - прямая

Найдем пределы интегрирования

=...

x2-5x=0

x(x-5)=0

x1=5 x2=0

Вычислим площадь фигуры

Задача 7.

Вероятность того, что в результате проверки изделию будет присвоен знак "изделие высшего качества" равна p=0,5.

1. На контроль поступило n=5 изделий. Какова вероятность того, что знак высшего качества будет присвоен:

а) ровно m=3 изделиям;

б) более чем k=2 изделиям;

в) хотя бы одному изделию;

г) указать наивероятнейшее количество изделий, получивших знак высшего качества, и найти соответствующую ему вероятность.

При тех же условиях найти вероятность того, что в партии из N=26 изделий знак высшего качества получает:

а) ровно половина изделий;

б) не менее чем k1=10, но не более, чем k2=20 изделий.

Решение:

Значение n10, поэтому для расчетов воспользуемся локальной и интегральной формулами Лапласа:

а) половина изделий получат знак качества (ровно 13)

где..., а ?(x) - локальная функция Лапласа

По таблице находим, что ?(0)=0,3989, ==>...

б) от 10 до 20 изделий получат знак качества

Pn(k1;k2)?Ф(x2)-Ф(x1), где... и..., а Ф(x) - интегральная функция Лапласа

По таблице значений функции Ф(x) находим, что Ф(-1,18)=-Ф(1,18)=-0,381, а Ф(2,75)=0,497, ==> P26(10;20)?0,497+0,381=0,878.

Задача 8.

В лотерее на каждые 100 билетов приходиться m1=8 билетов с выигрышем a1=5 тыс. рублей, m2=10 билетов с выигрышем a2=4 тыс. рублей, m3=15 билетов с выигрышем a3=3 тыс. рублей и m4=25 билетов с выигрышем a4=2. Остальные билеты из сотни не выигрывают.

Составить закон распределения величины выигрыша для владельца одного билета и найти его основные характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Пояснить смысл указанных характеристик.

Решение:

Случайная величина Х - дискретная величина. Составим закон распределения этой случайной величины, перечислив все е возможные значения и найдя соответствующие им вероятности. Число выигрышных билетов из 100 составляет: 8+10+15+25=58, значит, число невыигрышных билетов: 100 - 58 =42.

Располагая величины возможного выигрыша...в порядке возрастания, получим следующую таблицу:

0 2 3 4 5

0.42 0.2 0.12 0.06 0.04

Отметим, что...

а) Математическое ожидание случайной величины Х:

Ожидаемый средний выигрыш на один билет составляет 1,5 тыс.руб.

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

тыс.руб. - характеристика разброса фактических значений выигрыша от найденного среднего значения..., то есть основные значения случайной величины выигрыша находятся в диапазоне (1,75...1,6993).

Ответ:...;...;...

Задача 9.

По итогам выборочных обследований для некоторой категории сотрудников величина их дневного заработка X руб. и соответствующее количество сотрудников ni представлены в виде интервального статистического распределения.

1) Построить гистограмму относительных частот распределения.

2) Найти основные характеристики распределения выборочных данных: среднее выборочное значение, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

3) Оценить генеральные характеристики по найденным выборочным характеристикам.

1) Считая, что значение X в генеральной совокупности подчинены нормальному закону распределения, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания (генерального среднего значения) с надежностью ?=0.88, считая, что генеральная дисперсия равна исправленной выборочной дисперсии.

xi 80 - 82 82 - 84 84 - 86 86 - 88 88 - 90

ni 3 7 20 15 5

Решение:

Объем выборки:...

1) вычислим относительные частоты для каждого частичного интервала:

Контроль...

В итоге получено следующее интервальное распределение относительных частот признака Х:

xi 80 - 82 82 - 84 84 - 86 86 - 88 88 - 90

wi 0.06 0.14 0.4 0.3 0.1

Длина каждого частичного интервала равна 4. Следовательно, шаг разбиения....

Построим гистограмму относительных частот.

2) для нахождения характеристик выборки интервального распределения признака Х перейдем к дискретному, выбирая в качестве значений признака xi середины частичных интервалов:

xi 81 83 85 87 89

ni 3 7 20 15 5

средняя выборочная:

Средняя выборочная квадратов:

Выборочная дисперсия:

квадратическое отклонение

2) доверительный интервал для оценки средней найдем по формуле:

Где значение t определим по таблице

Тогда

(85.03; 85.93)

Ответ:...;...;...;...