Шифр 08. На кафедре иностранных языков работают 37 преподавателей, из них французский преподают 23 преподавателя, английский – 16

  • ID: 29479 
  • 7 страниц

Фрагмент работы:

ВАРИАНТ 18

Задача 8

На кафедре иностранных языков работают 37 преподавателей, из них французский преподают 23 преподавателя, английский - 16. Число преподавателей, ведущих занятия только по английскому языку, равно числу преподавателей, ведущих занятия только по немецкому. Число преподавателей, ведущих занятия только по английскому и немецкому языкам, равно числу преподавателей, ведущих занятия только по немецкому и французскому языкам. Преподавателей, ведущих только французский и английский, на кафедре нет. Все три языка ведут 3 преподавателя. Сколько преподавателей ведут один английский язык?

Решение:

Решим задачу с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Введем следующие обозначения:

А - множество преподавателей, преподающий английский;

В - множество преподавателей, преподающий немецкий;

С - множество преподавателей, преподающих французский;

U - множество всех преподавателей кафедры.

Мощности этих множеств равны соответственно:

Также из условия задачи известно, что

Число преподавателей, ведущих один английский язык:

Это число равно числу преподавателей, ведущих занятия только по немецкому:

Значит

Тогда

Подставим все получившиеся выражения в формулу

Тогда число преподавателей, ведущих только английский и немецкий, и число преподавателей, ведущих только немецкий и французский:

А число преподавателей, ведущих один английский язык, (а также только немецкий язык):

Задача 18

Проверить правильность рассуждений графическим способом. Если сегодня вечером будет мороз, то я пойду на каток. Если завтра будет оттепель, то я пойду в музей. Сегодня вечером будет мороз или завтра будет оттепель. Следовательно, я пойду на каток и в музей.

Решение:

Введем следующие обозначения для высказываний:

X - высказывание "Сегодня вечером будет мороз";

Y - высказывание "Завтра будет оттепель";

V - высказывание "Я пойду на каток"

Z - высказывание "Я пойду в музей"

Запишем рассуждение в формализованном виде:

Данное рассуждение F будет истинным, если из конъюнкции посылок следует заключение, т.е. если импликация... тождественно истинна. Для проверки правильности рассуждения построим таблицу истинности:

Таблица истинности высказывания F

X Y V.....................

0 0 0 0 1 1 0 0 0 1

0 0 0 1 1 1 0 0 0 1

0 0 1 0 1 1 0 0 0 1

0 0 1 1 1 1 0 0 1 1

0 1 0 0 1 0 1 0 0 1

0 1 0 1 1 1 1 1 0 0

0 1 1 0 1 0 1 0 0 1

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1 0 1 1 0 0 1

1 0 1 0 1 1 1 1 0 0

1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 0 0 0 1 0 0 1

1 1 0 1 0 1 1 0 0 1

1 1 1 0 1 0 1 0 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Видно, что функция F не принимает значение "истина" на всех допустимых значениях простых операндов, следовательно, рассуждение F не является правильным.

Задача 28

По заданной функции проводимости построить СКНФ и СДНФ. Упростить полученные формулы.

Решение:

По заданной функции построим таблицу истинности:

x y z f

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1

По таблице истинности запишем СДНФ:

СКНФ:

Упростим СДНФ, используя операцию склеивания:

Упростим СКНФ:

Задача 38

Найти решение системы линейных уравнений матричным способом:

Решение:

Систему линейных уравнений можно записать в виде:

где А - матрица коэффициентов системы, Х - столбец переменных, В - столбец свободных членов:

Умножим обе части уравнения слева на обратную матрицу:

Найдем обратную матрицу:

где... - алгебраические дополнения элемента...... - определитель матрицы А. Поскольку значение... стоит в знаменателе, то обратная матрица... существует только тогда, когда определитель матрицы А не равен нулю.

обратная матрица существует

Задача 48

Найти решение системы линейных уравнений методом Крамера:

Решение:

По методу Крамера значения неизвестных находятся по формулам:

где...... - определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой i-го столбца столбцом свободных членов В.

система имеет только одно решение.