Шифр 31. Решить систему линейных алгебраических уравнений матричным методом, методом Крамера

  • ID: 28805 
  • 9 страниц

Фрагмент работы:

Задание №1.

Решить систему линейных алгебраических уравнений: а) матричным методом; б) методом Крамера.

Решение:

а) решим систему матричным методом. В этом случае решение находится по формуле:

X=A-1?B

Найдем главный определитель системы

1 -1 1

=...

2 1 1

Найдем алгебраические дополнения:

=...

1 1 1 1 -1 2

=...

2 1 2 1 2 2

=...

2 1 2 1 2 -1

б) решим эту систему методом Крамера

1 -1 1

=...

1 1 1

1 1 1

=...

2 1 1

1 -1 1

=...

2 1 1

Ответ:...

Задание №2.

Даны три вершины треугольника АВС. Составить уравнения трех его сторон; б) медианы, проведенной из вершины С; в) высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.

А(2;-2), В(2;8), С(-1;4)

Решение:

а) составим уравнения сторон по двум точкам:

АВ:

- уравнение стороны АВ

АС:

- уравнение стороны АС

ВС:

- уравнение стороны ВС

б) Найдем координаты точки E как координаты середины отрезка AB.

Запишем уравнение медианы CE по 2 точкам:

-уравнение медианы CE

в) Высота AD перпендикулярна стороне ВС. По условию перпендикулярности двух прямых

Составим уравнение высоты AD по угловому коэффициенту и точке А:

- уравнение высоты AD

Задание №3.

По заданным координатам вершин A, B, D A` куба ABCDA`B`C`D`: а) найти координаты остальных вершин куба; в) найти уравнения всех ребер куба; в) найти уравнения всех граней куба.

А(0;0;0), В(-2;0;0), D(0;2;0), А`(0;0;2)

Решение:

а) Найдем координаты остальных вершин куба:

Воспользуемся тем, что по определению грани куба - квадраты. Выпишем равные вектора, т.е. коллинеарные одинаково направленные вектора, длины которых равны:

Используя данные равенства и то, что координаты равных векторов равны, найдем неизвестные вершины куба C, C|, B|, D|:

Пусть...

Найдем координаты точки С из равенства векторов...:

Найдем координаты точки С| из равенства векторов...:

Найдем координаты точки B` из равенства векторов...:

Найдем координаты точки D| из равенства векторов...:

Получим:.............

б) составим уравнения ребер куба по двум точкам:

AB:... ?...

BC:... ?...

CD:... ?...

AD:... ?...

AA`:... ?...

BB`:... ?...

CC`:... ?...

DD`:... ?...

в)

Зная координаты всех вершин куба, запишем уравнения граней куба, как плоскостей проходящих через три данные точки:

Запишем уравнение грани ABCD, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки А(0;0;0), В(-2;0;0), C(-2;2;0) и... по следующей формуле:

(АВСD):...

Запишем уравнение грани A|B|C|D|, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки А|(0;0;2), В|(-2;0;2), C|(-2;2;2) и...по следующей формуле:

(А|В|С|D`):...

Запишем уравнение грани ABA|B|, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки А(0;0;0), B|(-2;0;2), A|(0;0;2) и...по следующей формуле:

(АВA|B|`):...

Запишем уравнение грани DCD|C|, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки D(0;2;0), C(-2;2;0), C|(-2;2;2) и...по следующей формуле:

(DCD|C|`):...

Запишем уравнение грани ADD|A|, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки A(0;0;0), D(0;2;0), A|(0;0;2) и...по следующей формуле:

(ADD|A|`):...

Запишем уравнение грани BCC|B|, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки

B(-2;0;0), C(-2;2;0), C|(-2;2;2) и...по следующей формуле:

(BCC|B|`):...

Ответ:

a)............;

б) (AB):..., (DC):..., (A|B`):...

(D|C`):..., (AD):..., (BC):...

(A|D|):..., (B|C`):..., (AA|):...

(BB|):..., (CC|):..., (DD|):...;

в) (АВСD):..., (А|В|С|D`):..., (АВA|B|`):..., (DCD|C|`):...

(ADD|A|`):..., (BCC|B|`):....

Задание №4. Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение:

1. Область определения функции.

x?R - вся числовая ось

2. Четность и нечетность функции.

==> функция свойствами четности или нечетности не обладает.

3. Периодичность функции.

Данная функция не является периодической как суперпозиция многочлена и эксконенциальной функции.

4. Непрерывность функции.

Данная функция является непрерывной на всей области определения

5. Асимптоты.

а) вертикальных нет

б) горизонтальные

Горизонтальная асимптота y = 0 при....

в) наклонные

y=k?x+b

Наклонных асимптот нет.

6. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

==>...

Составим таблицу для определения знака первой производной:

x (-?;-1) -1 (-1;+ ?)

+ 0 +

y возрастает... возрастает

7. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

Составим таблицу для определения знака второй производной:

x (-?;-3) -3 (-3,-1) -1 (-1;+?)

- 0 + 0 -

y выпукла... вогнута... выпукла

8. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда....

С осью OX: полагаем y=0, тогда..., ==> таких точек нет

Построим график функции:

Задание №5.

Вычислить определенный интеграл:

Решение:

Ответ:....

Задание №6.

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения:

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

=...

=...

Тогда общее решение уравнения запишется в виде:

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Подставим в уравнения начальные условия...:

=...

Задание 7.

Найти вероятность одновременного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием равна 0.8, а вторым - 0.7?

Решение:

Пусть A - событие, состоящее в том, что при выстреле первое орудие попало в цель.

Пусть B - событие, состоящее в том, что при выстреле второе орудие попало в цель.

Пусть С - событие, состоящее в том, что при выстреле из первого и второго орудий цель поражена.

В нашем случае, события A и B - совместные события, так как могут произойти одновременно.

По условию...

Тогда:....

Ответ: 0,94.