Вариант 10. Решить систему линейных алгебраических уравнений матричным методом, методом Крамера

  • ID: 28349 
  • 10 страниц

Фрагмент работы:

Задание №1.

Решить систему линейных алгебраических уравнений: а) матричным методом; б) методом Крамера.

Решение:

а) решим систему матричным методом. В этом случае решение находится по формуле:

X=A-1?B

Найдем главный определитель системы

2 3 1

=...

1 1 -1

Найдем алгебраические дополнения:

=...

1 -1 1 -1 4 4

=...

1 -1 1 -1 -2 4

=...

1 1 1 1 -2 4

б) решим эту систему методом Крамера

1 3 1

=...

0 1 -1

2 1 1

=...

1 0 -1

2 3 1

=...

1 1 0

Ответ:...

Задание №2.

Даны три вершины треугольника АВС. Составить уравнения трех его сторон; б) медианы, проведенной из вершины С; в) высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.

А(-15;-15), В(0;5), С(48;31).

Решение:

а) составим уравнения сторон по двум точкам:

АВ:

- уравнение стороны АВ

АС:

- уравнение стороны АС

ВС:

- уравнение стороны ВС

б) Найдем координаты точки E как координаты середины отрезка AB.

Запишем уравнение медианы CE по 2 точкам:

-уравнение медианы CE

в) Высота AD перпендикулярна стороне ВС. По условию перпендикулярности двух прямых

Составим уравнение высоты AD по угловому коэффициенту и точке А:

- уравнение высоты AD

Задание №3.

По заданным координатам вершин A, B, D A` куба ABCDA`B`C`D`: а) найти координаты остальных вершин куба; в) найти уравнения всех ребер куба; в) найти уравнения всех граней куба.

А(0;0;0), В(3;0;0), D(0;-3;0), А`(0;0;3)

Решение:

а) Найдем координаты остальных вершин куба:

Воспользуемся тем, что по определению грани куба - квадраты. Выпишем равные вектора, т.е. коллинеарные одинаково направленные вектора, длины которых равны:

Используя данные равенства и то, что координаты равных векторов равны, найдем неизвестные вершины куба C, C|, B|, D|:

Пусть...

Найдем координаты точки С из равенства векторов...:

Найдем координаты точки С| из равенства векторов...:

Найдем координаты точки B` из равенства векторов...:

Найдем координаты точки D| из равенства векторов...:

Получим:.............

б) составим уравнения ребер куба по двум точкам:

AB:... ?...

BC:... ?...

CD:... ?...

AD:... ?...

AA`:... ?...

BB`:... ?...

CC`:... ?...

DD`:... ?...

в)

Зная координаты всех вершин куба, запишем уравнения граней куба, как плоскостей проходящих через три данные точки:

Запишем уравнение грани ABCD, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки А(0;0;0), В(-3;0;0), C(3;-3;0) и... по следующей формуле:

(АВСD):...

Запишем уравнение грани A|B|C|D|, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки А|(0;0;3), В|(-3;0;3), C|(3;-3;3) и...по следующей формуле:

(А|В|С|D`):...

Запишем уравнение грани ABA|B|, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки А(0;0;0), B|(-3;0;3), A|(0;0;3) и...по следующей формуле:

(АВA|B|`):...

Запишем уравнение грани DCD|C|, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки D(0;-3;0), C(3;-3;0), C|(3;-3;3) и...по следующей формуле:

(DCD|C|`):...

Запишем уравнение грани ADD|A|, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки A(0;0;0), D(0;-3;0), A|(0;0;3) и...по следующей формуле:

(ADD|A|`):...

Запишем уравнение грани BCC|B|, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки

B(-3;0;0), C(3;-3;0), C|(3;-3;3) и...по следующей формуле:

(BCC|B|`):...

Ответ:

a)............;

б) (AB):..., (DC):..., (A|B`):...

(D|C`):..., (AD):..., (BC):...

(A|D|):..., (B|C`):..., (AA|):...

(BB|):..., (CC|):..., (DD|):...;

в) (АВСD):..., (А|В|С|D`):..., (АВA|B|`):..., (DCD|C|`):...

(ADD|A|`):..., (BCC|B|`):....

Задание №4. Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение:

1. Область определения функции.

x-1?0

x?1

x?(-?;1)?(1;+?)

2. Четность и нечетность функции.

==> функция свойствами четности или нечетности не обладает.

3. Периодичность функции.

Данная функция не является периодической как дробно-рациональная.

4. Непрерывность функции.

Данная функция является непрерывной на всей области определения кроме точки x = 1.

5. Асимптоты.

а) вертикальные

x=1

б) горизонтальные

Горизонтальных асимптот нет

в) наклонные

y=k?x+b

y=x-1- наклонная асимптота

6. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

==>...

Составим таблицу для определения знака первой производной:

x (-?;0) 0 0;1) 1 (1;2) 2 (2;+ ?)

+ - - +

y возрастает max

ymax...-2 убывает разрыв убывает min

ymin...2 возрастает

7. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

-точек перегиба нет

8. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда....

С осью OX: полагаем y=0, тогда..., ==> таких точек нет

Построим график функции:

Задание №5.

Вычислить определенный интеграл:

Решение:

Найдем неопределенный интеграл...

Тогда

Ответ:...

Задание №6.

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения:

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

k2-3k+2=0

k1=1 k2=2

Тогда общее решение уравнения запишется в виде:

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Подставим в уравнения начальные условия...:

=...

Задание 7.

Игральная кость брошена 2 раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 11?

Решение:

Пусть... - событие, состоящее в том, что на кости... очков.

Пространство элементарных исходов для данного опыта будет иметь вид:

Найдем вероятность по формуле классической вероятности. Общее число равновозможных исходов равно n=62=36. Количество благоприятных исходов равно..., т.к. сумму из 11 очком можно получить комбинацией 5+6 или 6+5 цифр при первом и втором бросках кости, поэтому по формуле классической вероятности получим:

или 5,56 %.

Ответ: вероятность того, что сумма выпавших очков 11 равна...