Вариант 4: математическая часть

  • ID: 22872 
  • 7 страниц

Фрагмент работы:

Задание №1.

Решить систему линейных алгебраических уравнений: а) матричным методом; б) методом Крамера.

Решение:

а) решим систему матричным методом. В этом случае решение находится по формуле:

X=A-1?B

Найдем главный определитель системы

1 -1 0

=...

-1 2 1

Найдем алгебраические дополнения:

=...

2 1 2 1 0 2

=...

-1 1 -1 1 1 2

=...

-1 2 -1 2 1 0

б) решим эту систему методом Крамера

-2 -1 0

=...

1 2 1

1 -2 0

=...

-1 1 1

1 -1 -2

=...

-1 2 1

Задание №2.

Даны три вершины треугольника АВС. Составить уравнения трех его сторон; б) медианы, проведенной из вершины С; в) высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.

А(-1;3), В(28;21), С(14;-7).

Решение:

а) составим уравнения сторон по двум точкам:

АВ:

=...

=...

АС:

2x+2=-3y+9

2x+3y-7=0

ВС:

2x-56=y-21

2x-y-35=0

б) Найдем координаты точки E как координаты середины отрезка AB.

Запишем уравнение медианы CE по 2 точкам:

=...

=...

в) Высота AD перпендикулярна стороне ВС. По условию перпендикулярности двух прямых

Составим уравнение высоты AD по известной точке и угловому коэффициенту:

=...

y-3=...(x+1)

2y-6=-x-1

x+2y-5=0

Задание №3.

По заданным координатам вершин A, B, D A` куба ABCDA`B`C`D`: а) найти координаты остальных вершин куба; в) найти уравнения всех ребер куба; в) найти уравнения всех граней куба.

А(0;0;0), В(2;0;0), D(0;2;0), А`(0;0;-2)

Решение:

а) Найдем координаты остальных вершин куба:

С(2;2;0), В`(2;0;-2), C`(2;2;-2), D`(0;2;-2)

б) составим уравнения ребер куба по двум точкам:

AB:... ?...

BC:... ?...

CD:... ?...

AD:... ?...

AA`:... ?...

BB`:... ?...

CC`:... ?...

DD`:... ?...

в) составим уравнения граней куба

ABCD: z=0

=...

=...

=...

=...

=...

Задание №4.

Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение:

1. Область определения функции.

9x-18?0

x?2

x?(-?;2)?(2;+?)

2. Асимптоты.

а) вертикальные

x=2

б) горизонтальные

Горизонтальных асимптот нет

в) наклонные

y=k?x+b

- наклонная асимптота

3. Четность и нечетность функции.

==> функция свойствами четности или нечетности не обладает.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: x=0, ==> y=0.

С осью OX: полагаем y=0, тогда x2=0 и x=0

5. Возрастание, убывание, точки экстремумов.

Найдем производную функции.

x(x-4)=0

x1=0 x2=4

не существует при x=1

x (-?;0) 0 (0;4) 2 (2;4) 4 (4;+?)

+ 0 - не сущ. - 0 +

y возрастает max

ymax=0 убывает не сущ. убывает min

ymin=... возрастает

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Найдем вторую производную

==> x=?

не существует при 9x-18=0, ==> x=2

x (-?;2) 2 (2;+?)

- не сущ. +

y выпукла не сущ. вогнута

Построим график функции

Задание №5.

Вычислить определенный интеграл:

Найдем неопределенный интеграл...

Тогда

Задание №6.

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения:

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

=...

(k+1)3=0

k=-1

Тогда общее решение уравнения запишется в виде:

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Подставим в уравнения начальные условия y(0)=1, y'(0)=3, y''(-1)=2:

=...

Задание 7.

Из 20 акционерных обществ (АО) четыре являются банкротами. Гражданин приобрел по одной акции шести АО. Какова вероятность того, что среди купленных акций две окажутся акциями банкротов?

Решение:

Для расчета вероятностей будем использовать формулу классической вероятности. Общее количество равновозможных исходов равно количеству способов выбора 6 АО из двадцати, т.е..... Количество благоприятных исходов равно..., т.к. среди купленных акций должно быть 2 акции банкротов (из всего 4 таким АО) и 4 акции из оставшихся 16 АО. Тогда по формуле классической вероятности получим: