Вариант 24 (часть математика)

  • ID: 14596 
  • 8 страниц

Фрагмент работы:

Задание №1.

Решить систему линейных алгебраических уравнений: а) матричным методом; б) методом Крамера.

Решение:

а) решим систему матричным методом. В этом случае решение находится по формуле:

X=A-1?B

Найдем главный определитель системы

0 -1 2

=...

2 1 5

Найдем алгебраические дополнения:

=...

1 5 1 5 2 0

=...

2 5 2 5 1 0

=...

2 1 2 1 1 2

б) решим эту систему методом Крамера

0 -1 2

=...

-1 1 5

0 0 2

=...

2 -1 5

0 -1 0

=...

2 1 -1

Задание №2.

Даны три вершины треугольника АВС. Составить уравнения трех его сторон; б) медианы, проведенной из вершины С; в) высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.

А(3;4), В(5;12), С(0;0).

Решение:

а) составим уравнения сторон по двум точкам:

АВ:

АС:

ВС:

б) Найдем координаты точки E как координаты середины отрезка AB.

Запишем уравнение медианы CE по 2 точкам:

в) Высота AD перпендикулярна стороне ВС. По условию перпендикулярности двух прямых

Составим уравнение высоты AD по известной точке и угловому коэффициенту:

=...

Задание №3.

По заданным координатам вершин A, B, D, A` куба ABCDA`B`C`D`: а) найти координаты остальных вершин куба; в) найти уравнения всех ребер куба; в) найти уравнения всех граней куба.

А(0;0;0), В(4;0;0), D(0;-4;0), А`(0;0;4)

Решение:

а) Найдем координаты остальных вершин куба:

Воспользуемся тем, что по определению грани куба - квадраты. Выпишем равные вектора, т.е. коллинеарные одинаково направленные вектора, длины которых равны:

Используя данные равенства и то, что координаты равных векторов равны, найдем неизвестные вершины куба C, C|, B|, D|:

Пусть...

Найдем координаты точки С из равенства векторов...:

Найдем координаты точки С| из равенства векторов...:

Найдем координаты точки B` из равенства векторов...:

Найдем координаты точки D| из равенства векторов...:

Получим:.............

б) составим уравнения ребер куба по двум точкам:

AB:... ?...

BC:... ?...

CD:... ?...

AD:... ?...

AA`:... ?...

BB`:... ?...

CC`:... ?...

DD`:... ?...

в)

Зная координаты всех вершин куба, запишем уравнения граней куба, как плоскостей проходящих через три данные точки:

Запишем уравнение грани ABCD, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки А(0;0;0), В(4;0;0), C(4;-4;0) и... по следующей формуле:

(АВСD):...

Запишем уравнение грани A|B|C|D|, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки А|(0;0;4), В|(4;0;4), C|(4;-4;4) и...по следующей формуле:

(А|В|С|D`):...

Запишем уравнение грани ABA|B|, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки А(0;0;0), B|(4;0;4), A|(0;0;4) и...по следующей формуле:

(АВA|B|`):...

Запишем уравнение грани DCD|C|, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки D(0;-4;0), C(4;-4;0), C|(4;-4;4) и...по следующей формуле:

(DCD|C|`):...

Запишем уравнение грани ADD|A|, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки A(0;0;0), D(0;-4;0), A|(0;0;4) и...по следующей формуле:

(ADD|A|`):...

Запишем уравнение грани BCC|B|, как уравнение плоскости..., проходящей через три точки

B(4;0;0), C(4;-4;0), C|(4;-4;4) и...по следующей формуле:

(BCC|B|`):...

Ответ:

a)............;

б) (AB):..., (CD):..., (A|B`):...

(D|C`):..., (AD):..., (BC):...

(A|D|):..., (B|C`):..., (AA|):...

(BB|):..., (CC|):..., (DD|):...;

в) (АВСD):..., (А|В|С|D`):..., (АВA|B|`):..., (DCD|C|`):...

(ADD|A|`):..., (BCC|B|`):....

Задание №4.

Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение:

1. Область определения функции.

Так как..., то....

2. Четность и нечетность функции.

==> функция не обладает свойствами четной и нечетной функции.

3. Асимптоты.

Функция не определена в точке.... Исследуем характер разрыва:

Таким образом, точке...- разрыв 2-го рода.

Аналогично исследуется точка... - разрыв 2-го рода.

а) Горизонтальные асимптоты:

Прямая y = 0 - горизонтальная асимптота.

в) наклонные

y=k?x+b

Значит: наклонных асимптот нет.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда....

С осью OX: полагаем y=0, тогда......==>....

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

при..., Критические точки отсутствуют.

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-?;-2) (-2;2) (2; +?)

- - -

y убывает убывает убывает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

:... - точек перегиба нет.

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;0,36) 0,36 (0,36;+?)

+ 0 -

y вогнута 0,16 выпукла

Построим график функции:

Задание №5.

Вычислить определенный интеграл:

Решение:

Найдем неопределенный интеграл...

Задание №6.

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения:

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

=...

Тогда общее решение уравнения запишется в виде:

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Подставим в уравнения начальные условия...:

Задача 7.

Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что 2 наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.

Решение:

Обозначим через событие А - вынутые два билета.

Тогда по формуле классической вероятности

где m - благоприятствующие для события А исходы, n - всевозможные исходы.

Тогда

и...

Ответ: 0.0000001