Вариант 8: математическая часть

  • ID: 10849 
  • 6 страниц

Фрагмент работы:

Задание №1.

Решить систему линейных алгебраических уравнений: а) матричным методом; б) методом Крамера.

Решение:

а) решим систему матричным методом. В этом случае решение находится по формуле:

X=A-1?B

Найдем главный определитель системы

2 3 1

=...

1 1 -1

Найдем алгебраические дополнения:

=...

1 -1 1 -1 0 5

=...

1 -1 1 -1 -2 5

=...

1 1 1 1 -2 0

б) решим эту систему методом Крамера

1 3 1

=...

1 1 -1

2 1 1

=...

1 1 -1

2 3 1

=...

1 1 1

Задание №2.

Даны три вершины треугольника АВС. Составить уравнения трех его сторон; б) медианы, проведенной из вершины С; в) высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.

А(2;-1), В(5;-1), С(2;3).

Решение:

а) составим уравнения сторон по двум точкам:

АВ:

y+1=0

y=-1

АС:

x-2=0

x=2

ВС:

=...

=...

б) Найдем координаты точки E как координаты середины отрезка AB.

Запишем уравнение медианы CE по 2 точкам:

2x-4=3y-9

2x-3y+5=0

в) Высота AD перпендикулярна стороне ВС. По условию перпендикулярности двух прямых

==> уравнение высоты имеет вид x=a.

Т.к. точка А принадлежит прямой, то уравнение высоты будет x=2.

Задание №3.

По заданным координатам вершин A, B, D A` куба ABCDA`B`C`D`: а) найти координаты остальных вершин куба; в) найти уравнения всех ребер куба; в) найти уравнения всех граней куба.

А(0;0;0), В(3;0;0), D(0;3;0), А`(0;0;3)

Решение:

а) Найдем координаты остальных вершин куба:

С(3;3;0), В`(3;0;3), C`(3;3;3), D`(0;3;3)

б) составим уравнения ребер куба по двум точкам:

AB:... ?...

BC:... ?...

CD:... ?...

AD:... ?...

AA`:... ?...

BB`:... ?...

CC`:... ?...

DD`:... ?...

в) составим уравнения граней куба

ABCD: z=0

=...

=...

=...

=...

=...

Задание №4.

Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение:

Решение:

1. Область определения функции.

x?(-?;+?)

2. Асимптоты.

а) вертикальных нет, т.к. нет точек разрыва

б) горизонтальные

y=0 - горизонтальная асимптота

в) наклонные

y=k?x+b

наклонных асимптот нет

3. Четность и нечетность функции.

==> функция является четной, и ее график симметричен относительно оси ординат.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда y=....

С осью OX: полагаем y=0, тогда x=?.

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

==> x=0

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-?;0) 0 (0;+?)

y' + 0 -

y возрастает максимум

ymax=... убывает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

=...

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;-1) -1 (-1;1) 1 (1;+?)

+ 0 - 0 +

y вогнута перегиб

yпер=... выпукла перегиб

yпер=... вогнута

Построим график функции

Задание №5.

Вычислить определенный интеграл:

Найдем неопределенный интеграл...

Тогда

Задание №6.

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения:

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

k2-2k-15=0

k1=-3 k2=5

Тогда общее решение уравнения запишется в виде:

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Подставим в уравнения начальные условия y(1)=0 и y'(0)=-1:

=...

Задание 7.

В учебной группе 40 студентов, из которых 20 занимаются рукопашным боем, 15 - лыжным спортом, 5 - стрельбой. Найти вероятность того, что наугад вызванный студент не занимается стрельбой.

Решение:

Для расчета вероятностей будем использовать формулу классической вероятности. Найдем вероятность противоположного события, т.е. что наугад вызванный студент занимается стрельбой. Общее число равновозможных исходов равно n=40, т.к. всего 40 студентов. Количество благоприятных исходов равно m=5, т.к. всего пять студентов занимаются стрельбой, поэтому по формуле классической вероятности получим:

Тогда вероятность того, что наугад вызванный студент не занимается стрельбой, будет равна: