Вариант 25. Решить систему линейных алгебраических уравнений матричным методом, методом Крамера

  • ID: 10565 
  • 7 страниц

Фрагмент работы:

Задание №1.

Решить систему линейных алгебраических уравнений: а) матричным методом; б) методом Крамера.

Решение:

а) решим систему матричным методом. В этом случае решение находится по формуле:

X=A-1?B

Найдем главный определитель системы

0 1 -3

=...

2 0 -4

Найдем алгебраические дополнения:

=...

0 -4 0 -4 2 0

=...

2 -4 2 -4 3 0

=...

2 0 2 0 3 2

б) решим эту систему методом Крамера

-1 1 -3

=...

0 0 -4

0 -1 -3

=...

2 0 -4

0 1 -1

=...

2 0 0

Задание №2.

Даны три вершины треугольника АВС. Составить уравнения трех его сторон; б) медианы, проведенной из вершины С; в) высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.

А(3;3), В(3;6), С(7;3).

Решение:

а) составим уравнения сторон по двум точкам:

АВ:

x-3=0

x=3

АС:

y-3=0

y=3

ВС:

=...

=...

б) Найдем координаты точки E как координаты середины отрезка AB.

Запишем уравнение медианы CE по 2 точкам:

=...

=...

в) Высота AD перпендикулярна стороне ВС. По условию перпендикулярности двух прямых

Составим уравнение высоты AD по известной точке и угловому коэффициенту:

=...

y-3=...(x-3)

3y-9=4x-12

4x-3y-3=0

Задание №3.

По заданным координатам вершин A, B, D, A` куба ABCDA`B`C`D`: а) найти координаты остальных вершин куба; в) найти уравнения всех ребер куба; в) найти уравнения всех граней куба.

А(0;-4;0), В(4;0;0), D(0;0;0), А`(0;0;4)

Решение:

Условие некорректно. Вершины с такими координатами не могут образовывать куб.

Задание №4.

Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение:

1. Область определения функции.

x?(-?;+?)

2. Асимптоты.

а) вертикальных нет, т.к. нет точек разрыва

б) горизонтальные

Горизонтальных асимптот нет

в) наклонные

y=k?x+b

Наклонных асимптот нет

3. Четность и нечетность функции.

поэтому функция свойствами четности или нечетности не обладает

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда....

С осью OX: полагаем y=0, тогда.

Это уравнение имеет три действительных корня: x1=..., x2=-1-..., x1=-1+....

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

=...

y'=0, если x2+x-2=0

x1=-2 x2=1

Составим таблицу для определения знака производной

x (-?;-2) -2 (-2;1) 1 (1;+ ?)

y' + 0 - 0 +

y возрастает максимум, ymax=25 убывает минимум

ymin=-2 возрастает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

y"=6(2x+1)

y"=0, если 2x+1=0, ==> x=-...

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;-...) -... (-...;+ ?)

y" - 0 +

y выпукла перегиб

yпер=... вогнута

Построим график функции.

Задание №5.

Вычислить определенный интеграл:

Решение:

Найдем неопределенный интеграл...

Тогда

Задание №6.

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения:

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

=...

Подстановкой убеждаемся, что k=3 - корень уравнения.

Разделим многочлен k3-k2-2k-12 на k-3:

k3-k2-2k-12 k-3

k3-3k2 k2+2k+4

2k2-2k

2k2-6k

4k-12

4k-12

0

=...

k2+2k+4=0

Тогда общее решение уравнения запишется в виде:

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Подставим в уравнения начальные условия y(0)=2, y'(0)=1, y''(1)=1:

Задача 7.

В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием легких, 30% - с заболеванием печени, 20% - с заболеванием почек. Вероятность полного излечения болезни легких равна 0,7; для болезней печени и почек эти вероятности равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдает заболеванием легких.

Решение:

Рассмотрим гипотезы:

H1 - больной поступил с заболеванием легких

H2 - больной поступил с заболеванием печени

H3 - больной поступил с заболеванием почек

и событие

F - больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым.

Тогда

=...

=...

=...

События Hi образуют полную группу, поэтому по формуле полной вероятности получим:

=...

Т.к. больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым, т.е. событие F произошло, то вероятности гипотез можно найти по формуле Байеса

Таким образом, вероятность того, что выписанный здоровым больной страдает заболеванием легких, равна....