Вариант 4. 19 Задач. Определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размере 10000 руб. достигнет через 180 дней суммы S=17000 руб

  • ID: 00212 
  • 13 страниц

Содержание:


Вариант 4. 19 Задач. Определить простую ставку процентов, при кото…

Задача 1

Определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размере 10000 руб. достигнет через 180 дней суммы S=17000 руб.

Решение:

Формула простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление:

…=…

где FV – будущая стоимость вложения, (FV=17000 руб.)

PV – величина вклада, (PV=10000 руб.)

n – количество начислений за период.

r- норма процента за период.

Предположим, что начисление процентов осуществляется два раза в год, тогда за период в 180 дней проценты будут начислены один раз, следовательно:

В этом случае годовая норма процента равна r’=2*70=140%.

Если предположить, что проценты начисляются чаще двух раз в год, например, n=4, тогда:

Годовая норма процента в этом случае не измениться и составит r’=4*35=140%.

Ответ: годовая норма процента r’=140%.

Задача 2

Кредит в размере P=25000 руб. выдан с 26.03 по 18.10 под простые проценты i1=32%. Определить размер долга для различных вариантов начисления процентов.

Решение:

Рассчитаем время кредита:

Точное число дней: t=291-85=206 дней.

Примерное число дней: t=6+30+31+30+ 31+31+30+18=207 дней.

Предположим проценты начисляются точно раз в 30 дней, тогда по формуле простых процентов (n=207/30=6,9≈6) рассчитываем размер долга на конец периода:

…=…

…=…

Если проценты начисляются реже, чем раз в 30 дней, например, один раза квартал (90 дней), тогда:

…=…

…=…

…=…

Если проценты начисляются ежедневно, тогда:

n=207

…=…

…=…

Таким образом, с увеличением числа начислений процентов увеличивается и конечная величина кредита (сумма долга).

Возможны также следующие варианты начисления процентов:

1. Если расчет ведется на основе точных процентов и точного числа дней ссуды, тогда:

…=…

2. Если в расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число дней:

…=…

3. Если в расчет принимаются обыкновенные проценты и приближенное число дней, то:

…=…

Задача 3

Банк объявил следующие условия выдачи ссуды на год: за I квартал ссудный процент составляет i1=32%, а в каждом последующем квартале процентная ставка по ссуде увеличивается на 3%. Определить сумму к возврату в банк, если ссуда выдана на год и составляет Р=25000 руб. (Проценты простые).

Решение:

Формула простых процентов:

…=…

Так как ставка процента изменяется в течение года, то рассчитаем прирост размера ссуды за счет увеличения процентов поквартально:

За I квартал: Δ1=0,32*25000=8000 руб.

За II квартал: Δ2=(0,32+0,03)*25000=8750 руб.

За III квартал: Δ3=(0,32+0,03+0,03)*25000=9500 руб.

За VI квартал: Δ4=(0,32+0,03+0,03+0,03)*25000=10250 руб.

Таким образом, общее увеличение суммы кредита составит:

…=…

Тогда сумма к возврату в банк составляет:

…=…

Ответ: FV=61500 руб.

Задача 4

Договор вклада заключен на n=4 лет и предусматривает начисление и капитализацию процентов по полугодиям. Сумма вклада равна P=25000 руб. годовая ставка j=20%. Рассчитать сумму на счете клиента к концу срока.

Решение:

В данном случае полугодовая ставка процента, по которой идет начисление, равна:

r=j/2=10%.

Начисление осуществляется по формуле сложных процентов:

…=…

где t – количество начислений, в данном случае t=2n=8.

Тогда сумма, которая будет на счете клиента к концу срока вклада равна:

…=…

Ответ: FV=53589,7 руб.

Задача 5

Владелец векселя номинальной стоимостью S=17000 руб. и сроком погашения 1 год, предъявил его банку-эмитенту для учета за 60 дней до платежа. Банк учел его по ставке d=50% годовых. Определить сумму, полученную владельцем векселя и величину дисконта.

Решение:

Формула для расчета суммы, выплачиваемой банком при учете векселей, следующая:

…=…

где Р –выплачиваемая сумма.

F – вексельная сумма (номинальная стоимость), F=17000 руб.

d – банковская учетная ставка, d=50%.

f – относительная длина периода до погашения векселя, f =60/360=0,167.

Таким образом, владелец векселя получит сумму равную:

…=…

Ответ: Р=15580,5 руб.

Задача 6

Определить значение годовой учетной ставки банка, эквивалентной ставке простых процентов i1=32% годовых (n=1).

Решение:

Процентная ставка рассчитывается по формуле:

где PV – базовая величина вклада

FV – величина вклада на конец периода.

Учетная ставка рассчитывается по формуле:

Таким образом показатели процентной ставки и учетной ставки взаимосвязаны:

…или…

Следовательно,…

Ответ: d=24%.

Задача 7

На вклады ежеквартально начисляются проценты по номинальной годовой ставке j=20%. Определить сумму вклада для накопления через 1,5 года суммы S=17000 руб.

Решение:

Поквартальная норма процента составляет: r=20/4=5%.

• Если проценты начисляются по схеме простого процента, то сумма вклада через полтора года составит:

•…=…

• Если проценты начисляются по схеме сложного процента, тогда:

…=…

Ответ: FV1=22100 руб. или FV2=22781,6 руб.

Задача 8

Банк предлагает долгосрочные кредиты под i1=32% с ежеквартальным начислением процентов, (i1+2)=34% годовых с полугодовым начислением процентов и (i1-4)=28% с ежемесячным начислением процента. Определить наиболее выгодный для банка вариант кредитования.

Решение:

Пусть проценты по кредиту начисляются по формуле сложных процентов:

…=…

где FV – будущая стоимость вложения

PV – величина вклада

t – количество начислений в год

r – норма процента за период, r=i1/t

n – срок кредита в годах.

1. Для ежеквартального начисления процентов (r=32/4=8% квартальная норма процента):

…=…

2. Если проценты начисляются раз в пол года, тогда:

r=34/2=17%

…=…

3. Если начисление процентов осуществляется ежемесячно, тогда:

…=…

…=…

Для клиента банка выгоднее всего кредит с ежемесячным начислением процентов, т.к. увеличение суммы кредита за счет процентов минимально, для банка наоборот, наиболее выгодным является тот вид кредита, который приносит большую сумму дохода, т.е. самый дорогой кредит – с полугодовым начислением процентов.

Ответ: долгосрочный кредит с полугодовым начислением процентов..

Задача 9

Банк выдает кредит под i1=32% годовых. Полугодовой уровень инфляции составил π=5%. Определить реальную годовую ставку процента с учетом инфляции.

Решение:

Реальная ставка процента рассчитывается по формуле:

где k – реальная годовая ставка процента

r – номинальная годовая ставка процента, r=32%.

π – годовой уровень инфляции, равный 10,25% (т.е.…=…

Тогда годовая реальная ставка процента равна:

Ответ: k=19,72%.

Задача 10

Какую ставку процентов по вкладам нужно назначить, чтобы реальная доходность вклада с учетом инфляции π=5% составила 10% годовых.

Решение:

Номинальная, реальная ставки процента и инфляция связаны следующим соотношением:

…=…

где k – реальная годовая ставка процента

r – номинальная годовая ставка процента

π – годовой уровень инфляции.

Выражаем значение номинальной ставки процента:

…=…

Ответ: r=15,5%.

Задача 11

Рассчитать уровень инфляции за год при ежемесячном уровне инфляции π=5%.

Решение:

Как известно, инфляция – устойчивая тенденция к повышению общего уровня цен. Уровень инфляции за период определяется по формуле:

где P0 – уровень цен в начале периода

P1 – уровень цен в конце периода.

Если уровень цен в начале года составлял P0=Х, тогда с учетом инфляции через месяц P1=1,05X. Через 2 месяца P2=1,05*1,05Х=1,052Х и т.д. Тогда к концу года уровень цен составит P12=1,0512Х=1,7959Х. Соответственно, годовой темп инфляции составляет:

Ответ: π=79,59%.

Задача 12

Вклад P=25000 руб. положен в банк на полгода с ежемесячным начислением сложных процентов по номинальной ставке 48% годовых. Определить реальный доход вкладчика, если ежемесячный уровень инфляции составляет π=5%.

Решение:

Ежемесячная норма процента r=48/12=4%.

Количество начислений за полгода t=6.

Начисление осуществляется по формуле сложных процентов:

…=…

FV – номинальная сумма денег, которую получит вкладчик через полгода. Т.к. в экономике годовой уровень инфляции составляет π=5%, найдем полугодовой уровень инфляции:

пусть Р0=Х, темп инфляции за полгода составляет y, тогда P1=yX, P2=1,05Х, тогда если считать, что уровень инфляции в обоих полугодиях одинаков, тогда можно записать следующее соотношение:

…=…

Таким образом, реальная величина вклада с учетом инфляции составит через полгода:

…=…

А доход который получает вкладчик равен:

…=…

Ответ: 6469,2 руб. – реальный доход вкладчика.

Задача 13

Договор аренды имущества заключен на 5 лет. Аренда уплачивается суммами S1=S, S2=S+1000 (руб.)…=…

соответственно в конце 1-го, 3-го и 5-го годов. По новому графику платежей вносится две суммы: S4=S+3000 (руб.) в конце второго года и S5 (руб.) в конце 4-го года. Ставка банковского процента равна i2=7%, S=17000 руб. Определить S5.

Решение:

Рассчитаем настоящую стоимость арендной платы по формуле:

…=…

По новому графику платежей вносится только две суммы, следовательно:

Ответ: S5=34944,75 руб.

Задача 14

Определить размер ежегодных платежей по сложной ставке i2=7% для создания через шесть лет фонда в размере S-1000=16000 руб.

Решение:

Предположим, что платежи осуществляются в начале года, а процент начисляется в конце года, тогда имеет место аннуитет с выплатами в начале периода (Due Annuity). Будущая стоимость для такого аннуитета рассчитывается по формуле:

С – величина ежегодных платежей

r – годовая норма процента.

Ответ: С=2090 руб.

Задача 15

Рассчитать величину фонда, который может быть сформирован за 2 года путем внесения в конце каждого года сумм в размере S=17000 руб. Проценты на вклад начисляются по ставке i2=7% годовых.

Решение:

В данном случае имеет место обычный аннуитет (Ordinary Annuity), будущая стоимость такого аннуитета определяется по формуле:

Ответ: FV=35190 руб.

Задача 16

Ежемесячная плата за квартиру составляет R=2200 руб. Срок платежа – начало месяца. Рассчитать величину равноценного платежа взимаемого за год вперед. Ставка банковского депозита – 24% годовых.

Решение:

В данном случае величина годового равноценного платежа определяется по формуле настоящей стоимости (PV) для аннуитета с выплатами в начале периода (Due Annuity):

r=24/12=2% - ежемесячная ставка процента.

С=R=2200 руб.

Ответ: PV=21531 руб.

Задача 17

Двухлетняя облигация номиналом 1000 руб. с полугодовыми купонами, доходностью 20% годовых. Рассчитать цену ее первоначального размещения, приняв ставку сравнения j=20% годовых.

Решение:

Для оценки облигаций используется доходность к погашению y=j/2=10% за полугодие.

Величина купонной выплаты составляет 1000*0,2/2=100 руб.

Цена размещения облигации рассчитывается по формуле:

Ответ: P=1000 руб.

Задача 18

Бескупонная облигация куплена на аукционе по курсу K1=50 и продана по курсу К2=59 через 90 дней. Рассчитать доходность вложения по схеме простых и сложных процентов.

Решение:

Прирост капитала за один период для облигации равен разнице между ценой облигации в начале и в конце периода. В процентах от стоимости облигации прирост капитала можно выразить формулой:

Предположим, что облигация имеет срок погашения 90 дней. Тогда ее цена определяется по формуле:

где N – номинал облигации.

y – доходность к погашению.

n – период времени до погашения.

Теперь рассчитаем величину процентной ставки, которая дала бы владельцу вклада PV=50 через 90 дней сумму FV=59.

• Простой процент. Пусть начисление осуществляется ежемесячно, тогда n=3, а ежемесячная ставка процента:

•…=…

• Для сложного процента при ежемесячном начислении месячная ставка процента равна:

…=…

Ответ: y=18%, r1=6%, r2=5,67%

Задача 19

Представить план амортизации 5-ти летнего займа в размере (P*100)=2500000 руб. погашаемого:

а) равными суммами

б) равными срочными уплатами.

Процентная ставка по займу i2=7% годовых.

Решение:

а) Предположим долг планируется погасить пятью равными платежами, тогда ежегодный платеж составляет:

План амортизации долга представлен в таблице 1.

t Сумма на начало периода Уплата процента Основной платеж Общая сумма платежа Сумма долга на конец периода

1 2500000 175000 434756 609756 2065244

2 2065244 144567,1 465188,9 609756 1600055

3 1600055 112003,9 497752,1 609756 1102303

4 1102303 77161,21 532594,8 609756 569708

5 569708 39879,57 569876,4 609756 0

Общая величина займа с учетом процентов составляет:

…=…

б) Пусть долг планируется погасить равными срочными выплатами. В этом случае сумма по основному долгу погашается равными платежами в размере 2500000/5=500000 руб., а проценты начисляются по текущей величине долга и выплачиваются отдельно. План амортизации долга представлен в таблице 2.

t Сумма на начало периода Уплата процента Основной платеж Общая сумма платежа Сумма долга на конец периода

1 2500000 175000 500000 675000 2000000

2 2000000 140000 500000 640000 1500000

3 1500000 105000 500000 605000 1000000

4 1000000 70000 500000 570000 500000

5 500000 35000 500000 535000 0

Итого 525000 2500000 3025000

Общая величина займа с учетом процентов составит:

…=…

Список литературы

: