Вопросы 12, 28. Дифференциальное уравнение энергии

  • ID: 34770 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Вопрос №12. Дифференциальное уравнение энергии.

Ответ:

Дифференциальное уравнение энергии выводится на основе закона сохранения энергии.

Теплота может попадать в объем dV через грани параллелепипеда (рис.1) за счет теплопроводности и вместе с потоком нагретой жидкости, т.е. за счет конвекции. Так, через грань, перпендикулярную оси х (с координатой х), за время [image] за счет теплопроводности передается количество теплоты

[image],

а конвекцией

[image],

где [image] - энтальпия жидкости.

Суммарное количество теплоты будет равно:

[image].

Разность входящего [image] и выходящего через противоположную грань [image] количеств теплоты составит:

[image] (1)

Составив аналогичные выражения для всех граней параллелепипеда и просуммировав их с учетом уравнения сплошности, получим полное количество теплоты, аккумулированное жидкостью в объеме dV за время [image]:

[image].

Согласно первому закону термодинамики для потока вся теплота [image], подводимая к потоку, при отсутствии технической работы и изменения кинетической энергии расходуется на изменение энтальпии жидкости. Скорость изменения энтальпии в объеме dV равна [image], а за время [image] энтальпия изменится на

[image] (2)

[image]

Рис.1. К расчету потока массы и теплоты через

дифференциально малый объем

Приравнивая правые части уравнений (1) и (2) и заменяя h на [image], получаем дифференциальное уравнение энергии:

[image].

Запись уравнения можно упростить, если воспользоваться оператором

[image]

и учесть, что в левой части стоит субстанциональная производная от температуры, которая обозначается специальным символом:

[image].