8 задач. Рейтинг девяти банков был оценен тремя экспертами. С помощью коэффициента ранговой корреляции найти пары экспертов

  • ID: 06587 
  • 20 страниц

Содержание:


8 задач. Рейтинг девяти банков был оценен тремя экспертами. С помо…

Задание 1

Рейтинг девяти банков был оценен тремя экспертами. С помощью коэффициента ранговой корреляции найти пары экспертов, оценки которых наиболее близко соответствуют друг другу. Оценить значимость различий в оценке рейтинга банков экспертами.

Эксперт Номер банка

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 3 2 1 4 5 6 7 8 9

2 2 3 1 4 7 9 8 5 6

3 1 2 5 3 4 6 9 7 8

Решение:

Вычислим степень тесноты парной связи между оценками экспертов с помощью рангового коэффициента корреляции Спирмэна.

Составим вариационные ряды для 1 (Х), 2 (У) и 3(Z) экспертов и расставим ранги.

Вариационный ряд для параметра Х

Х 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ri(Х) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Вариационный ряд для параметра У

У 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ri(У) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Вариационный ряд для параметра Z

Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ri(Z) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

В следующей таблице представлены ранжировки в соответствии с первоначальным положением элементов в исходной двумерной совокупности.

Ранжировки для параметров Х, У и Z

Ri(Х) 3 2 1 4 5 6 7 8 9

Ri(У) 2 3 1 4 7 9 8 5 6

Ri(Z) 1 2 5 3 4 6 9 7 8

Оценки первого и третьего экспертов наиболее близко соответствуют друг другу.

Задание 2

Утверждается, что результат действия лекарства зависит от способа его применения. Проверить это утверждение при...=0,05 по следующим данным:

Результат Способ применения Всего

А Б С

Неблагоприятный 11 17 16 44

Благоприятный 20 23 19 62

Всего 31 40 35 106

Решение:

Проверяется гипотеза о зависимости двух признаков: действия лекарства от способа его применения. Находим:

Число степеней свободы (2-1)(3-1)=2.

По таблице значений для... находим:...

Так как...... (16.27> 5,99), то гипотеза о независимости времени погашения кредита и категорией покупателей отклоняется. То есть времени погашения кредита зависит от категории покупателей.

Задание 4

Рассмотрим зависимость между весом новорожденного... (в граммах)... количества сигарет, выкуриваемых в день будущей матерью во время беременности и переменной..., которая отражает факт того, является ли ребенок первенцем или нет. Если...=0, то ребенок первенец, если...=1, то ребенок не первенец. Рассмотрим выборку из 20 значений:

Наблюдение.........

1 3520 10 1

2 3460 19 1

3 3000 16 1

4 3320 26 1

5 3540 4 1

6 3310 14 1

7 3360 21 1

8 3650 10 1

9 3150 22 1

10 3440 8 1

11 3210 29 1

12 3290 15 1

13 3190 3 0

14 3060 12 0

15 3270 17 0

16 3170 14 0

17 3230 18 0

18 3700 11 0

19 330 14 0

20 3460 9 0

Постройте линейную регрессионную модель, проверьте статистическую значимость коэффициентов модели. Проверьте значимость модели. Посчитайте прогноз веса новорожденного, если количество выкуриваемых сигарет равно 30 и ребенок первенец.

Решение:

Уравнение регрессии ищем в виде:...

Обозначения...

тогда...

Вектор... находится по формуле:...

В нашем случае

Тогда...

Таким образом....

Вычислим коэффициент множественной корреляции:

Составим расчетную таблицу

№..................

1 3520 3468,63 51,37 2638,877 337 113569

2 3460 3301,5 158,5 25122,25 277 76729

3 3000 3357,21 -357,21 127599 -183 33489

4 3320 3171,51 148,49 22049,28 137 18769

5 3540 3580,05 -40,05 1604,002 357 127449

6 3310 3394,35 -84,35 7114,922 127 16129

7 3360 3264,36 95,64 9147,01 177 31329

8 3650 3468,63 181,37 32895,08 467 218089

9 3150 3245,79 -95,79 9175,724 -33 1089

10 3440 3505,77 -65,77 4325,693 257 66049

11 3210 3115,8 94,2 8873,64 27 729

12 3290 3375,78 -85,78 7358,208 107 11449

13 3190 3097,98 92,02 8467,68 7 49

14 3060 2930,85 129,15 16679,72 -123 15129

15 3270 2838 432 186624 87 7569

16 3170 2893,71 276,29 76336,16 -13 169

17 3230 2819,43 410,57 168567,7 47 2209

18 3700 2949,42 750,58 563370,3 517 267289

19 330 2893,71 -2563,71 6572609 -2853 8139609

20 3460 2986,56 473,44 224145,4 277 76729

сумма - - - 8074704 - 9223620

Тогда

Коэффициент множественной детерминации равен:...

Зависимость... от... и... характеризуется как слабая, в которой 12,5% вариации среднего веса новорожденных определяется вариацией учтенных в модели факторов: среднего числа выкуренных сигарет и числом детей в семье. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют 87,5% от общей вариации....

Проверим гипотезу...о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи (...), с помощью...- критерия Фишера.

Найдем...

Табличное значение при уровне значимости... составляет...

Сравнивая... и..., приходим к выводу к выводу о необходимости принять гипотезу..., так как...=3,59 >...=1.214. С вероятностью 0.95 делаем заключение о статистической не значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи..., которые сформировались под случайным воздействием факторов... и....

Посчитаем прогноз веса новорожденного, если количество выкуриваемых сигарет равно 30 и ребенок первенец:

(гр.)

Задание 5

Следующая таблица показывает число сотрудников фирмы: мужчин и женщин с высшим и средним образованием. Содержимое некоторых ячеек неизвестно, но известно, что процент лиц с высшим образованием в общем числе сотрудников не зависит от пола сотрудника. Восстановите содержимое ячейки "мужчины со средним образованием"

Мужчины Женщины Всего

Высшее образование 30 40

Среднее образование 60

Решение:

Мужчины Женщины Всего

Высшее образование 10 30 40

Среднее образование х у 60

Всего 10+х 30+у 100

Проверяется гипотеза о не зависимости двух признаков: процент лиц с высшим образованием и пола сотрудника. Находим:

Число степеней свободы (2-1)(2-1)=1.

По таблице значений для... находим:...

Так как процент лиц с высшим образованием в общем числе сотрудников не зависит от пола сотрудника, то гипотеза отклоняется и...... (186,604>4,41), то признается статистическая значимость и надежность уравнения регрессии.

Рассчитаем коэффициент эластичности по формуле:

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности измениться результат... от своей средней величины при изменении фактора... на 1% от своего среднего значения.

В качестве прогнозной точки возьмем...600, тогда прогнозное значение

8) Ошибка прогноза составит:

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

Доверительный интервал прогноза: 7,6821 ± 0,294.

Задание 7

Приведены данные за 15 лет по темпам прироста заработной платы...(%), производительности труда...(%), а также по уровню инфляции...(%).

Год 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

3,5 2,8 6,3 4,5 3,1 1,5 7,6 6,7 4,2 2,7 4,5 3,5 5,0 2,3 2,8

4,5 3,0 3,1 3,8 3,8 1,1 2,3 3,6 7,5 8,0 3,9 4,7 6,1 6,9 3,5

9,0 6,0 8,9 9,0 7,1 3,2 6,5 9,1 14,6 11,9 9,2 8,8 12,0 12,5 5,7

Постройте уравнение линейной регрессии прироста заработной платы от производительности труда и уровня инфляции. Проверьте качество построенной модели с надежностью 0,95. Проведите проверку наличия в модели автокорреляции на уровне значимости 0,05.

Решение:

Уравнение регрессии ищем в виде:...

Обозначения...

тогда...

Вектор... находится по формуле:...

В нашем случае

Тогда...

Таким образом....

Вычислим коэффициент множественной корреляции:

Составим расчетную таблицу

№............

1 9 8,785 0,0462 0,01

2 6 6,194 0,038 8,41

3 8,9 8,197 0,494 0,00

4 9 8,279 0,520 0,01

5 7,1 7,537 0,191 3,24

6 3,2 2,693 0,257 32,49

7 6,5 7,702 1,445 5,76

8 9,1 9,149 0,002 0,04

9 14,6 13,596 1,008 32,49

10 11,9 13,541 2,693 9,00

11 9,2 8,427 0,598 0,09

12 8,8 9,081 0,079 0,01

13 12 11,948 0,003 9,61

14 12,5 11,701 0,638 12,96

15 5,7 6,934 1,523 10,24

сумма 9,534 124,36

Тогда

Коэффициент множественной детерминации равен:

Зависимость... от... и... характеризуется как тесная, в которой 92,3% вариации среднего прироста заработной платы определяется вариацией учтенных в модели факторов: средней производительности труда и средней инфляции. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют 7,7% от общей вариации....

Проверим гипотезу...о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи (...), с помощью...- критерия Фишера.

Найдем...

Табличное значение при уровне значимости... составляет...

Сравнивая... и..., приходим к выводу к выводу о необходимости отклонить гипотезу..., так как...=3,88 <...=71,922. С вероятностью 0.95 делаем заключение о статистической значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи..., которые сформировались под неслучайным воздействием факторов... и....

Критерий Дарбина-Уотсона имеет вид:

где...- отклонения от линии регрессии, i=1..n.

Проверим наличие или отсутствие автокорреляции для регрессионной модели:

:

Используя таблицу:

1 -0,230 0,053

2 0,182 0,412 0,033 0,170

3 -0,730 -0,912 0,533 0,832

4 -0,740 -0,010 0,548 0,000

5 0,424 1,164 0,179 1,355

6 -0,513 -0,937 0,263 0,877

7 1,170 1,683 1,368 2,832

8 0,020 -1,149 0,000 1,321

9 -1,023 -1,043 1,046 1,088

10 1,629 2,651 2,652 7,029

11 -0,792 -2,421 0,628 5,861

12 0,266 1,058 0,071 1,120

13 -0,074 -0,340 0,005 0,115

14 -0,810 -0,736 0,655 0,541

15 1,222 2,032 1,493 4,127

Сумма квадратов 9,529 27,268

Находим

У нас n=15, m=2..., тогда... и....

Получаем, что условие :...<d<...(0.98<2,862<1.54) не выполняется.

Следовательно, автокорреляция в остатках отсутствует.

Задание 8

По данным 50 предприятий легкой промышленности получена оценка производственной функции Кобба -Дугласа в следующем виде.... Определите коэффициент эластичности. На сколько процентов в среднем увеличится производительность труда при изменении капиталовооруженности труда на 1%.

Решение:

Найдем производные:

Эластичность выпуска по ресурсу... будет равна:

Эластичность выпуска по ресурсу... будет равна:

Эластичность производства равна:

Задание 9

По статистическим данным за 20 лет построена линейная регрессионная модель зависимости между ценой бензина и объемом продаж бензина. С помощью этой модели вычислена...- статистика Дарбина-Уотсона, равная 0,71. Будет ли в данном случае иметь место автокорреляция остатков? Если да, она положительная или отрицательная? Что могло послужить причиной автокорреляции? Какими будут ваши рекомендации по совершенствованию модели с целью устранения автокорреляции?

Решение:

Критерий Дарбина-Уотсона имеет вид:

где...- отклонения от линии регрессии, i=1..n.

По условию на известна статистика Дарбина-Уотсона...

Фактическое значение... сравниваем с табличными значениями при 5% уровне значимости.

У нас n=20, m=1..., тогда... и....

Получаем, что условие :... < d <...(1,2 < 0,71 < 1,41) не выполняется.

Следовательно, автокорреляция в остатках отсутствует.

Задание 10

В таблице представлены данные, отражающие динамику роста доходов на душу населения за восьмилетний период

Год 1 2 3 4 5 6 7 8

Доход 1133 1222 1354 1389 1342 1377 1491 1684

Полагая тренд временного ряда линейным, найти уравнение тренда и оценить его значимость на уровне 0,05. Дать точечный прогноз и интервальный прогноз среднего и индивидуального значений доходов на 10 год с надежностью 0,95.

Решение:

Коэффициенты регрессионного уравнения тренда... находятся по методу наименьших квадратов и равны:

Воспользуемся вспомогательной таблицей:

1 1 1 1133 1133

2 2 4 1222 2444

3 3 9 1354 4062

4 4 16 1389 5556

5 5 25 1342 6710

6 6 36 1377 8262

7 7 49 1491 10437

8 8 64 1684 13472

сумма 36 204 10992 52076

средние 4,5 25,500 1374

И получим:

Следовательно, уравнение линейного тренда будет иметь вид:...

Доверительный интервал для линейного тренда... находится по формуле:

где...

При уровне значимости 0,95 табличное значение...=1,86.

Заполним вспомогательную таблицу:

1133 1156,33 -23,333 544,444 -3,5 12,25

1222 1218,52 3,47619 12,0839 -2,5 6,25

1354 1280,71 73,2857 5370,8 -1,5 2,25

1389 1342,9 46,0952 2124,77 -0,5 0,25

1342 1405,1 -63,095 3981,01 0,5 0,25

1377 1467,29 -90,286 8151,51 1,5 2,25

1491 1529,48 -38,476 1480,42 2,5 6,25

1684 1591,67 92,3333 8525,44 3,5 12,25

Сумма 30190,5 42

В нашем случае:

=...

Результат запишем в виде таблицы:

t

1 1156,333 43,439 1060,508 1252,159

4,5 1374,000 20,477 1328,827 1419,173

8 1591,667 43,439 1495,841 1687,492

На рисунке. изображены график тренда, доверительные интервалы (для t=1,4.5,8), и доверительная полоса.

Список литературы