8 задач. Найти стратегию рационального использования свободных денежных средств, имеющихся на текущем счете фирмы

  • ID: 04260 
  • 25 страниц

Фрагмент работы:

8 задач. Найти стратегию рационального использования свободных ден…

Задача 1.

Найти стратегию рационального использования свободных денежных средств, имеющихся на текущем счете фирмы, путем оформления депозитов под разные проценты на возможные сроки. Оформление депозитов не должно превышать прогнозируемый на три предстоящих месяца график ежемесячных расходов и приходов фирмы и требование иметь на счете необходимый резерв средств.

Депозиты можно оформлять с погашением не позднее начала 4?го месяца на сроки: один, два, три месяца, соответственно, под 1%, 2,5%, 4%. Оформление 2?х месячного депозита, начиная со второго месяца, пока не предлагается. В нижеследующей таблице приведен пример возможной стратегии оформления депозитов в течении рассматриваемого трехмесячного промежутка времени.

Фирма заинтересована в нахождении такой допустимой стратегии оформления депозитов, при которой суммарный доход от процентов на выданные депозиты составит максимальную величину.

Требуется:

1) Формализовать задачу управления, представив в виде ЭММ.

2) Установить, будет ли оптимальной приведенная в таблице, стратегия управления свободным оборотным капиталом фирмы. Если нет, то найти такую стратегию и оптимальные двойственные оценки ограничений. Дать экономическую интерпретацию двойственных оценок.

Допустимая стратегия управления оборотным капиталом фирмы (тыс. руб.)

Начальная сумма 1 месяц 2 месяц 3 месяц конец Суммарный доход

по проц.

165 50 50 50

Погашенные вклады 0 80 70.7 101.41

Доход по процентам 0 0.8 0.71 1.01 2.52

1?месячный депозит 80 70.7 101.41

2?месячный депозит 0 0 0

3?месячный депозит 0 0 0

Расходы/(?) приходы 35 10.1 -30

Необходимый резерв 50 50 50

Решение:

I. Построим экономико-математическую модель.

1) Введем обозначения:

? размер одномесячного депозита, оформленного в первом месяце

? размер одномесячного депозита, оформленного во втором месяце

? размер одномесячного депозита, оформленного в третьем месяце

? размер двухмесячного депозита, оформленного в первом месяце

? размер трехмесячного депозита, оформленного в первом месяце

2) составим ограничения (баланс приходов или расходов фирмы по каждому месяцу):

1?й месяц:...

2?й месяц:...

3?й месяц:...

3) нормализуем балансовые уравнения

4) критерий эффективности:

Таким образом, задача управления имеет вид:

Для подготовки к построению симплекс-таблицы:

1) составим двойственную задачу:

2) введем дополнительные балансовые переменные:

3) введем балансовые переменные для двойственной задачи:

II. Найдем решение, используя алгоритм симплекс-метода.

1) Строим исходную симплекс-таблицу:

=

=

=

=

=

=

1

=...

=...

=...

=...

2) Избавляемся от ограничений ? равенств.

Первый шаг: Выбираем разрешающую строку ? первая строка (на первом шаге можно выбрать любую строку), разрешающий столбец ? пятый (где больше нулевых элементов). Вычеркиваем пятый столбец

=

=

=

=

=

0...=

1

=...

=...

=...

=...

Второй шаг: Выбираем разрешающую строку ? вторая строка, разрешающий столбец ? второй. Вычеркиваем пятый столбец

=

=

0...=

=

=

1

=...

=...

=...

=...

Третий шаг: Разрешающая строка ? третья, разрешающий столбец ? третий. Вычеркиваем второй столбец

=

=

0...=

=

1

=...

=...

=...

=...

3) найдем оптимальное решение двойственным симплекс-методом.

=

=

=

1

=...

=...

=...

=...

=

-......=

-......=

1

=...

=...

=...

=...

Так как все элементы Z?строки и столбца свободных членов положительны, получено оптимальное решение:...(10.1; 0; 30; 0; 70)

При этом максимальный суммарный доход в целом равен 3.197 тыс. руб., что существенно выше заданного дохода по процентам (2.52).

Таким образом, максимальный суммарный доход по депозитам равен 3.197 тыс. руб.

Стратегия управления свободным оборотным капиталом фирмы:

=10.1? одномесячного депозита в первом месяце в размере 10.1 тыс. руб.

=0 ?одномесячный депозит во втором месяце не оформляется.

=30 ? одномесячного депозит в третьем месяце в размере 30 тыс. руб.

=0 ? двухмесячного депозит в первом месяце не оформляется.

=70 ? трехмесячного депозит в первом месяце в размере 70 тыс. руб.

Задача №2

Для полного удовлетворения еженедельного спроса на продукцию фирмы в пунктах В1 и В2 в объемах 100 единиц и 120 единиц администрация фирмы рассматривает четыре возможных проекта создания дополнительных производственных филиалов в пунктах А1, А2, А3 и А4. Проектируемые еженедельные мощности, расчетные себестоимости единиц продукции и ожидаемые транспортные расходы на доставку единицы продукции от созданного филиала названным потребителям приведены в нижеследующей таблице.

Имя проекта Мощность. Ед. Себестоимость, руб. Транспортный тариф, руб.

До пункта В1 До пункта В2

Филиал А1 70 6 6 7

Филиал А2 100 10 5 3

Филиал А3 100 4 8 9

Филиал А4 50 5 7 4

Необходимо определить, какие из проектируемых филиалов следует создать и какие грузопотоки от них направить названным потребителям, чтобы при полном удовлетворении спроса суммарные затраты на производство и транспортировку продукции были минимальными.

Требуется:

1) Формализовать задачу управления размещением филиалов и транспортировку продукции.

2) Найти решение перебором всех возможных вариантов размещения филиалов и транспортировки продукции.

Решение:

1. Составим экономико-математическую модель

Пусть xij - объем перевозок от i-го филиала до j-го пункта, а

Ограничения по мощности: Ограничения по спросу:

70...100

100...120

100

50

Условия неотрицательности:......

Производственные затраты:...

Транспортные затраты:...

Суммарные затраты:...

2. Рассмотрим различные варианты строительства, чтобы суммарная мощность построенных филиалов была не меньше потребностей.

1. Строим все филиалы y(1)=(1,1,1,1)

Вводим дополнительного фиктивного потребителя с объемом фиктивного спроса, равным разнице между предложением и спросом в исходной таблице: 70+100+100+50-100-120=100

Получаем транспортную задачу

Филиалы Потребитель

100 120 100

70 6 7 0

100 5 3 0

100 8 9 0

50 7 4 0

Заполним матрицу перевозок методом минимального элемента

Филиалы Потребитель

6...3...0

100 120 100

0 70 6 70 7 0 0

0 100 5 3 100 0

0 100 8 9 0 100

-1 50 7 30 4 20 0

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

=...

=...

Клетка с максимальной невязкой - клетка (2;1). Строим к ней цикл и переходим к следующей матрице перевозок

Филиалы Потребитель

6...4...0

100 120 100

0 70 6 70 7 0 0

1 100 5 30 3 70 0

0 100 8 9 0 100

0 50 7 4 50 0

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

=...

=...

Все условия оптимальности выполнены. Таким образом, мы получили оптимальный план:

X(1)*= 70 0 Транспортные затраты составляют: S1(1)= 6?70+5?30+3?70+4?50=980

30 70 Производственные затраты: S0(1)= 6?70+10?100+4?100+5?50=2070

0 0 Общие затраты составляют:...980+2070=3050

0 50

2. Исключаем первый филиал.... =...

Вводим дополнительного фиктивного потребителя с объемом фиктивного спроса, равным 30. Заполним матрицу перевозок методом минимального элемента

Филиалы Потребитель

6...3...-2

100 120 30

0 100 5 3 100 0

-2 100 8 70 9 0 30

-1 50 7 30 4 20 0

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

=...

Клетка с максимальной невязкой - клетка (1;1). Строим к ней цикл и переходим к следующей матрице перевозок

Филиалы Потребитель

5...3...-3

100 120 30

0 100 5 30 3 70 0

-3 100 8 70 9 0 30

-1 50 7 4 50 0

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

=...

Все условия оптимальности выполнены. Таким образом, мы получили оптимальный план:

X(1)*= 0 0 Транспортные затраты составляют: S1(2)= 5?30+8?70+3?70+4?50=1120

0 40 Производственные затраты: S0(2)=100·10+100·4+50·5=1650

60 60 Общие затраты составляют:...1120+1650=2770

70 0

3. Исключаем второй филиал.... =...

В данном случае условие баланса выполняется (суммарный спрос равен суммарному предложению: 70+100+50=100+120)

Получаем транспортную задачу.

Филиалы Потребитель

6...7

100 120

0 70 6 70 7

-2 100 8 30 9 70

3 50 7 4 50

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

7-0-7=0

=...

Все условия оптимальности выполнены. Таким образом, мы получили оптимальный план:

X(3)*= 70 0 Транспортные затраты составляют: S1(3)= 6?70+8?30+9?70+4?50=1490

0 0 Производственные затраты: S0(3)=70·6+100·4+50·5=1070

30 70 Общие затраты составляют:...1490+1070=2560

0 50

4. Исключаем третий филиал.... =...

В данном случае условие баланса выполняется (суммарный спрос равен суммарному предложению: 70+100+50=100+120)

Получаем транспортную задачу.

Филиалы Потребитель

6...3

100 120

0 70 6 70 7

0 100 5 3 100

?1 50 7 30 4 20

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

Клетка с максимальной невязкой - клетка (2;1). Строим к ней цикл и переходим к следующей матрице перевозок

Филиалы Потребитель

6...4

100 120

0 70 6 70 7

1 100 5 20 3 70

0 50 7 4 50

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

Все условия оптимальности выполнены. Таким образом, мы получили оптимальный план:

X(4)*= 70 0 Транспортные затраты составляют: S1(4)= 6?70+5?20+3?70+4?50=930

20 70 Производственные затраты: S0(4)=70·6+100·10+50·5=1670

0 0 Общие затраты составляют:...930+1670=2600

0 50

5. Исключаем четвертый филиал.... =...

Вводим дополнительного фиктивного потребителя с объемом фиктивного спроса, равным 50. Заполним матрицу перевозок методом минимального элемента

Филиалы Потребитель

6...7...?2

100 120 50

0 70 6 70 7 0

4 100 5 3 100 0

?2 100 8 30 9 20 0 50

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

Все условия оптимальности выполнены. Таким образом, мы получили оптимальный план:

X(5)*= 70 0 Транспортные затраты составляют: S1(5)= 6?70+8?30+3?100+9?20=1140

0 100 Производственные затраты: S0(5)=70·6+100·10+100?4=1820

30 20 Общие затраты составляют:...1140+1820=2960

0 0

Сравнивая полученные результаты, приходим к выводу об оптимальности третьего варианта размещения филиалов, а именно:

X(3)*= 70 0 Транспортные затраты составляют: S1(3)= 6?70+8?30+9?70+4?50=1490

0 0 Производственные затраты: S0(3)=70·6+100·4+50·5=1070

30 70 Общие затраты составляют:...1490+1070=2560

0 50

Задача №3

Администрация производственной фирмы желает рассчитать еженедельную программу выпуска своих изделий А и В, которая дает максимум чистого дохода на рубль всех сделанных затрат. Изделие А гарантировано реализуется по цене 134,2 руб., а изделие В по цене 463 руб.

Расход сырья на изделие А составляет 5 кг., а на изделие В ? 3 кг. Расход оборудования на изделие А составляет 3 ст. час., на изделие В ? 6 ст.час. Минимальные объемы сырья и станочного парка, при которых не произойдет остановки производства составляют, соответственно: 1150 кг и 900 ст.час. в неделю.

Фирма же имеет 2300 кг сырья и 1800 ст.час. оборудования. Себестоимости изделия А и изделия В (без учета заработной платы) составляют, соответственно, 78,3 руб., 400 руб. Сумма оплаты рабочих и служащих фирмы с другими накладными расходами составляет 28.7 тыс. руб. в неделю.

Требуется:

1) Формализовать задачу управления ресурсами фирмы и разработать рациональную программу выпуска изделий.

Решение:

1. Строим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим...?объем выпуска изделий А...?объем выпуска изделий В

Ограничения:

По сырью: 1150...5...+ 3......2300

По оборудованию: 900...3...+ 6......1800

Условия неотрицательности......0......0

Выручка:...=134,2...+ 463...

Затраты:...=78,3...+400...+28700

Доход:...?...= 55,9...+63...?28700

Критерий эффективности ? рентабельность:...

Получили задачу дробно-линейного программирования. Запишем математическую модель задачи:

0......0

5...+3......2300

?5...?3......?1150

3...+6......1800

?3...? 6......?900

2. Найдем решение задачи симплекс-методом.

Введем балансовые переменные:

2300?5...?3......0

?1150+5...+3......0

1800?3...?6......0

?900+3...+6......0

2.1. Исходная симплекс-таблица имеет вид:

?х1 ?х2 1 ? y2 ?х2 1

=...

=...

=...

=...

=...

=...

? y2 ? y4 1

=...

=...

=...

=...

=...

=...

Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то переходим ко второй фазе симплекс-метода.

2.2. Обобщающим критерием оптимальности является неотрицательность определителей....

Так как определитель...