Задача 1, 2, 7, 8. Найти стратегию рационального использования свободных денежных средств, имеющихся на текущем счете

  • ID: 04135 
  • 26 страниц

Фрагмент работы:

Задача 1, 2, 7, 8. Найти стратегию рационального использования сво…

Задача 1.

Найти стратегию рационального использования свободных денежных средств, имеющихся на текущем счете фирмы, путем оформления депозитов под разные проценты на возможные сроки. Оформление депозитов не должно превышать прогнозируемый на три предстоящих месяца график ежемесячных расходов и приходов фирмы и требование иметь на счете необходимый резерв средств.

Депозиты можно оформлять с погашением не позднее начала 4?го месяца на сроки: один, два, три месяца, соответственно, под 1%, 2,5%, 4%. Оформление 2?х месячного депозита, начиная со второго месяца, пока не предлагается. В нижеследующей таблице приведен пример возможной стратегии оформления депозитов в течении рассматриваемого трехмесячного промежутка времени.

Фирма заинтересована в нахождении такой допустимой стратегии оформления депозитов, при которой суммарный доход от процентов на выданные депозиты составит максимальную величину.

Требуется:

1) Формализовать задачу управления, представив в виде ЭММ.

2) Установить, будет ли оптимальной приведенная в таблице, стратегия управления свободным оборотным капиталом фирмы. Если нет, то найти такую стратегию и оптимальные двойственные оценки ограничений. Дать экономическую интерпретацию двойственных оценок.

Допустимая стратегия управления оборотным капиталом фирмы (тыс. руб.)

Начальная сумма 1 месяц 2 месяц 3 месяц конец Суммарный доход

по проц.

220 100 100 100

Погашенные вклады 0 80 140.8 101.61

Доход по процентам 0 0.8 1.41 1.02 3.22

1?месячный депозит 80 140.8 101.61

2?месячный депозит 0 0 0

3?месячный депозит 0 0 0

Расходы/(?) приходы 40 -60 40.6

Необходимый резерв 100 100 100

Решение:

I. Построим экономико-математическую модель.

1) Введем обозначения:

? размер одномесячного депозита, оформленного в первом месяце

? размер одномесячного депозита, оформленного во втором месяце

? размер одномесячного депозита, оформленного в третьем месяце

? размер двухмесячного депозита, оформленного в первом месяце

? размер трехмесячного депозита, оформленного в первом месяце

2) составим ограничения (баланс приходов или расходов фирмы по каждому месяцу):

1?й месяц:...

2?й месяц:...

3?й месяц:...

3) нормализуем балансовые уравнения

4) критерий эффективности:

Таким образом, задача управления имеет вид:

Для подготовки к построению симплекс-таблицы:

1) составим двойственную задачу:

2) введем дополнительные балансовые переменные:

3) введем балансовые переменные для двойственной задачи:

II. Найдем решение, используя алгоритм симплекс-метода.

1) Строим исходную симплекс-таблицу:

=

=

=

=

=

=

1

=...

=...

=...

=...

2) Избавляемся от ограничений ? равенств.

Первый шаг: Выбираем разрешающую строку ? первая строка (на первом шаге можно выбрать любую строку), разрешающий столбец ? пятый (где больше нулевых элементов). Вычеркиваем пятый столбец

=

=

=

=

=

0...=

1

=...

=...

=...

=...

Второй шаг: Выбираем разрешающую строку ? вторая строка, разрешающий столбец ? второй. Вычеркиваем пятый столбец

=

=

0...=

=

=

1

=...

=...

=...

=...

Третий шаг: Разрешающая строка ? третья, разрешающий столбец ? третий. Вычеркиваем второй столбец

=

=

0...=

=

1

=...

=...

=...

=...

3) найдем оптимальное решение двойственным симплекс-методом.

=

=

=

1

=...

=...

=...

=...

Так как все элементы Z?строки и столбца свободных членов положительны, получено оптимальное решение:...(0; 60; 20; 0; 80)

При этом максимальный суммарный доход в целом равен 4 тыс. руб., что существенно выше заданного дохода по процентам (3,22).

Таким образом, максимальный суммарный доход по депозитам равен 4 тыс. руб.

Стратегия управления свободным оборотным капиталом фирмы:

=0? одномесячного депозита в первом месяце не оформляется.

=60 ?одномесячный депозит во втором месяце в размере 60 тыс. руб.

=20 ? одномесячного депозит в третьем месяце в размере 20 тыс. руб.

=0 ? двухмесячного депозит в первом месяце не оформляется.

=80 ? трехмесячного депозит в первом месяце в размере 80 тыс. руб.

Задача №2

Для полного удовлетворения еженедельного спроса на продукцию фирмы в пунктах В1 и В2 в объемах 100 единиц и 190 единиц администрация фирмы рассматривает четыре возможных проекта создания дополнительных производственных филиалов в пунктах А1, А2, А3 и А4. Проектируемые еженедельные мощности, расчетные себестоимости единиц продукции и ожидаемые транспортные расходы на доставку единицы продукции от созданного филиала названным потребителям приведены в нижеследующей таблице.

Имя проекта Мощность. Ед. Себестоимость, руб. Транспортный тариф, руб.

До пункта В1 До пункта В2

Филиал А1 80 7 6 11

Филиал А2 100 5 6 7

Филиал А3 110 12 4 6

Филиал А4 155 6 7 12

Необходимо определить, какие из проектируемых филиалов следует создать и какие грузопотоки от них направить названным потребителям, чтобы при полном удовлетворении спроса суммарные затраты на производство и транспортировку продукции были минимальными.

Требуется:

1) Формализовать задачу управления размещением филиалов и транспортировку продукции.

2) Найти решение перебором всех возможных вариантов размещения филиалов и транспортировки продукции.

Решение:

1. Составим экономико-математическую модель

Пусть xij - объем перевозок от i-го филиала до j-го пункта, а

Ограничения по мощности: Ограничения по спросу:

80...100

100...190

110

155

Условия неотрицательности:......

Производственные затраты:...

Транспортные затраты:...

Суммарные затраты:...

2. Рассмотрим различные варианты строительства, чтобы суммарная мощность построенных филиалов была не меньше потребностей.

1. Строим все филиалы y(1)=(1,1,1,1)

Вводим дополнительного фиктивного потребителя с объемом фиктивного спроса, равным разнице между предложением и спросом в исходной таблице: 80+100+110+155-100-190=155

Получаем транспортную задачу

Филиалы Потребитель

100 190 155

80 6 11 0

100 6 7 0

110 4 6 0

155 7 12 0

Заполним матрицу перевозок методом минимального элемента

Филиалы Потребитель

9...11...0

100 190 155

0 80 6 11 80 0 0

4 100 6 7 100 0

5 110 4 100 6 10 0

0 155 7 12 0 155

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

=...

Клетка с максимальной невязкой - клетка (1;1). Строим к ней цикл и переходим к следующей матрице перевозок

Филиалы Потребитель

6...8...0

100 190 155

0 80 6 80 11 0 0

1 100 6 7 100 0

2 110 4 20 6 90 0

0 155 7 12 0 155

Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

=...

Все условия оптимальности выполнены. Таким образом, мы получили оптимальный план:

X(1)*= 80 0 Транспортные затраты составляют: S1(1)= 6?80+4?20+7?100+6?90=1800

0 100 Производственные затраты: S0(1)=80·7+100·5+110·12+155·6=3310

20 90 Общие затраты составляют:...1800+3310=5110

0 0

2. Исключаем первый филиал.... =...

Вводим дополнительного фиктивного потребителя с объемом фиктивного спроса, равным 75. Заполним матрицу перевозок методом минимального элемента

Филиалы Потребитель

5...7...-5

100 190 75

0 100 6 7 100 0

1 110 4 100 6 10 0

-5 155 7 12 80 0 75

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

Клетка с максимальной невязкой - клетка (3;1). Строим к ней цикл и переходим к следующей матрице перевозок

Филиалы Потребитель

5...7...-2

100 190 75

0 100 6 7 100 0

1 110 4 20 6 90 0

-2 155 7 80 12 0 75

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

Все условия оптимальности выполнены. Таким образом, мы получили оптимальный план:

X(1)*= 0 0 Транспортные затраты составляют: S1(2)= 4?20+7?80+7?100+6?90=1880

0 100 Производственные затраты: S0(2)=100·5+110·12+155·6=2750

20 90 Общие затраты составляют:...1880+2750=4630

80 0

3. Исключаем второй филиал.... =...

Вводим дополнительного фиктивного потребителя с объемом фиктивного спроса, равным 55. Заполним матрицу перевозок методом минимального элемента

Филиалы Потребитель

9...11...-1

100 190 55

0 80 6 11 80 0

5 110 4 100 6 10 0

-1 155 7 12 100 0 55

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

Клетка с максимальной невязкой - клетка (1;1). Строим к ней цикл и переходим к следующей матрице перевозок

Филиалы Потребитель

6...8...-4

100 190 55

0 80 6 80 11 0

2 110 4 20 6 90 0

-4 155 7 12 100 0 55

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

Клетка с максимальной невязкой - клетка (3;1). Строим к ней цикл и переходим к следующей матрице перевозок

Филиалы Потребитель

6...11...-1

100 190 55

0 80 6 80 11 0

5 110 4 6 110 0

-1 155 7 20 12 80 0 55

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

Все условия оптимальности выполнены. Таким образом, мы получили оптимальный план:

X(3)*= 80 0 Транспортные затраты составляют: S1(3)= 6?80+7?20+6?110+12?80=2240

0 0 Производственные затраты: S0(3)=80·7+110·12+155·6=2810

0 110 Общие затраты составляют:...2240+2810=5050

20 80

4. Исключаем третий филиал.... =...

Вводим дополнительного фиктивного потребителя с объемом фиктивного спроса, равным 45. Заполним матрицу перевозок методом минимального элемента

Филиалы Потребитель

6...7...-5

100 190 45

0 80 6 80 11 0

0 100 6 20 7 80 0

-5 155 7 12 110 0 45

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

=...

Клетка с максимальной невязкой - клетка (3;1). Строим к ней цикл и переходим к следующей матрице перевозок

Филиалы Потребитель

6...11...-1

100 190 45

0 80 6 80 11 0

4 100 6 7 100 0

-1 155 7 20 12 90 0 45

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

=...

Все условия оптимальности выполнены. Таким образом, мы получили оптимальный план:

X(4)*= 80 0 Транспортные затраты составляют: S1(4)= 6?80+7?20+7?100+12?90=2400

0 100 Производственные затраты: S0(4)=80·7+100·5+155·6=1990

0 0 Общие затраты составляют:...2400+1990=4390

20 90

5. Исключаем четвертый филиал.... =...

В данном случае условие баланса выполняется (суммарный спрос равен суммарному предложению: 80+100+110=100+190)

Получаем транспортную задачу.

Филиалы Потребитель

9...11

100 190

0 80 6 11 80

4 100 6 7 100

5 110 4 100 6 10

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

Клетка с максимальной невязкой - клетка (1;1). Строим к ней цикл и переходим к следующей матрице перевозок

Филиалы Потребитель

6...8

100 190

0 80 6 80 11

1 100 6 7 100

2 110 4 20 6 90

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

Все условия оптимальности выполнены. Таким образом, мы получили оптимальный план:

X(5)*= 80 0 Транспортные затраты составляют: S1(5)= 6?80+4?20+7?100+6?90=1800

0 100 Производственные затраты: S0(5)=80·7+100·5+110·12=2380

20 90 Общие затраты составляют:...1800+2380=4180

0 0

Сравнивая полученные результаты, приходим к выводу об оптимальности пятого варианта размещения филиалов, а именно:

X(5)*= 80 0 Транспортные затраты составляют: S1(5)= 6?80+4?20+7?100+6?90=1800

0 100 Производственные затраты: S0(5)=80·7+100·5+110·12=2380

20 90 Общие затраты составляют:...1800+2380=4180

0 0

Задача №3

Администрация производственной фирмы желает рассчитать еженедельную программу выпуска своих изделий А и В, которая дает максимум чистого дохода на рубль всех сделанных затрат. Изделие А гарантировано реализуется по цене 400 руб., а изделие В по цене 36 руб.

Расход сырья на изделие А составляет 5 кг., а на изделие В ? 3 кг. Расход оборудования на изделие А составляет 3 ст. час., на изделие В ? 6 ст.час. Минимальные объемы сырья и станочного парка, при которых не произойдет остановки производства составляют, соответственно: 1250 кг и 750 ст.час. в неделю.

Фирма же имеет 3750 кг сырья и 1500 ст.час. оборудования. Себестоимости изделия А и изделия В (без учета заработной платы) составляют, соответственно, 191 руб., 2 руб. Сумма оплаты рабочих и служащих фирмы с другими накладными расходами составляет 4,5 тыс. руб. в неделю.

Требуется:

1) Формализовать задачу управления ресурсами фирмы и разработать рациональную программу выпуска изделий.

Решение:

1. Строим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим...?объем выпуска изделий А...?объем выпуска изделий В

Ограничения:

По сырью: 1250...5...+ 3......3750

По оборудованию: 750...3...+ 6......1500

Условия неотрицательности......0......0

Выручка:...=400...+ 36...

Затраты:...=191...+2...+4500

Доход:...?...= 209...+34...?4500

Критерий эффективности ? рентабельность:...

Получили задачу дробно-линейного программирования. Запишем математическую модель задачи:

0......0

5...+3......3750

?5...?3......?1250

3...+6......1500

?3...? 6......?750

2. Найдем решение задачи симплекс-методом.

Введем балансовые переменные:

3750?5...?3......0

?1250+5...+3......0

1500?3...?6......0

?750+3...+6......0

2.1. Исходная симплекс-таблица имеет вид:

?х1 ?х2 1 ? y4 ?х2 1

=...

=...

=...

=...

=...

=...

Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то переходим ко второй фазе симплекс-метода.

2.2. Обобщающим критерием оптимальности является неотрицательность определителей....

Так как...