Вариант 715. Найти стратегию рационального использования свободных денежных средств, имеющихся на текущем счете фирмы

  • ID: 04017 
  • 28 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 715. Найти стратегию рационального использования свободных…

Задача 1.

Найти стратегию рационального использования свободных денежных средств, имеющихся на текущем счете фирмы, путем оформления депозитов под разные проценты на возможные сроки. Оформление депозитов не должно превышать прогнозируемый на три предстоящих месяца график ежемесячных расходов и приходов фирмы и требование иметь на счете необходимый резерв средств.

Депозиты можно оформлять с погашением не позднее начала 4?го месяца на сроки: один, два, три месяца, соответственно, под 1%, 2,5%, 4%. Оформление 2?х месячного депозита, начиная со второго месяца, пока не предлагается. В нижеследующей таблице приведен пример возможной стратегии оформления депозитов в течении рассматриваемого трехмесячного промежутка времени.

Фирма заинтересована в нахождении такой допустимой стратегии оформления депозитов, при которой суммарный доход от процентов на выданные депозиты составит максимальную величину.

Требуется:

1) Формализовать задачу управления, представив в виде ЭММ, упростить и представить графически.

2) Установить, будет ли оптимальной приведенная в таблице, стратегия управления свободным оборотным капиталом фирмы. Если нет, то найти такую стратегию и оптимальные двойственные оценки ограничений. Дать экономическую интерпретацию двойственных оценок.

Допустимая стратегия управления оборотным капиталом фирмы (тыс. руб.)

Начальная сумма 1 месяц 2 месяц 3 месяц конец Суммарный доход

по проц.

155 70 70 70

Погашенные вклады 0 60 50.5 141.01

Доход по процентам 0 0,6 0,51 1.41 2.52

1?месячный депозит 60 50.5 141.01

2?месячный депозит 0 0 0

3?месячный депозит 0 0 0

Расходы/(?) приходы 25 10.1 ?90

Необходимый резерв 70 70 70

Решение:

I. Построим экономико-математическую модель.

1) Введем обозначения:

? размер одномесячного депозита, оформленного в первом месяце

? размер одномесячного депозита, оформленного во втором месяце

? размер одномесячного депозита, оформленного в третьем месяце

? размер двухмесячного депозита, оформленного в первом месяце

? размер трехмесячного депозита, оформленного в первом месяце

2) составим ограничения (баланс приходов или расходов фирмы по каждому месяцу):

1?й месяц:...

2?й месяц:...

3?й месяц:...

3) нормализуем балансовые уравнения

4) критерий эффективности:

Таким образом, задача управления имеет вид:

Для подготовки к построению симплекс-таблицы:

1) составим двойственную задачу:

2) введем дополнительные балансовые переменные:

3) введем балансовые переменные для двойственной задачи:

II. Найдем решение, используя алгоритм симплекс-метода.

1) Строим исходную симплекс-таблицу:

=

=

=

=

=

=

1

=...

=...

=...

=...

2) Избавляемся от ограничений ? равенств.

Первый шаг: Выбираем разрешающую строку ? первая строка (на первом шаге можно выбрать любую строку), разрешающий столбец ? пятый (где больше нулевых элементов). Вычеркиваем пятый столбец

=

=

=

=

=

0...=

1

=...

=...

=...

=...

Второй шаг: Выбираем разрешающую строку ? вторая строка, разрешающий столбец ? второй. Вычеркиваем пятый столбец

=

=

0...=

=

=

1

=...

=...

=...

=...

Третий шаг: Разрешающая строка ? третья, разрешающий столбец ? третий. Вычеркиваем второй столбец

=

=

0...=

=

1

=...

=...

=...

=...

3) найдем оптимальное решение двойственным симплекс-методом.

В качестве разрешающей строки возьмем вторую (соответствующую отрицательному элементу столбца свободных членов), а разрешающий столбец выбирается по максимальному отрицательному отношению коэффициентов Z?строки к соответствующим им по столбцам элементам разрешающей строки:

Разрешающая строка ? третья, разрешающий столбец ? второй

=

=

=

1...=

=

?......=

1

=...

=...

=...

=...

Так как все элементы Z?строки т столбца свободных членов положительны, получено оптимальное решение:...(10,1; 0; 0; 90; 50)

При этом максимальный суммарный доход в целом равен 2,997 тыс. руб., что существенно выше заданного дохода по процентам (2,52).

Таким образом, максимальный суммарный доход по депозитам равен 2,997 тыс. руб.

Стратегия управления свободным оборотным капиталом фирмы:

=10,1? одномесячного депозита в первом месяце в размере 10,1 тыс. руб.

=0 ?одномесячный депозит во втором месяце в размере не оформляется

=0 ? одномесячного депозит в третьем месяце не оформляется

=90 ? двухмесячного депозит в первом месяце в размере 90 тыс. руб.

=50 ? трехмесячного депозит в первом месяце в размере 50 тыс. руб.

Задача №2

Для полного удовлетворения еженедельного спроса на продукцию фирмы в пунктах В1 и В2 в объемах 140 единиц и 120 единиц администрация фирмы рассматривает четыре возможных проекта создания дополнительных производственных филиалов в пунктах А1, А2, А3 и А4. Проектируемые еженедельные мощности, расчетные себестоимости единиц продукции и ожидаемые транспортные расходы на доставку единицы продукции от созданного филиала названным потребителям приведены в нижеследующей таблице.

Имя проекта Мощность. Ед. Себестоимость, руб. Транспортный тариф, руб.

До пункта В1 До пункта В2

Филиал А1 50 9 9 16

Филиал А2 150 10 8 15

Филиал А3 140 16 5 9

Филиал А4 70 5 7 10

Необходимо определить, какие из проектируемых филиалов следует создать и какие грузопотоки от них направить названным потребителям, чтобы при полном удовлетворении спроса суммарные затраты на производство и транспортировку продукции были минимальными.

Требуется:

1) Формализовать задачу управления размещением филиалов и транспортировку продукции.

2) Найти решение перебором всех возможных вариантов размещения филиалов и транспортировки продукции.

Решение:

1. Составим экономико-математическую модель

Пусть xij - объем перевозок от i-го филиала до j-го пункта, а

Ограничения по мощности: Ограничения по спросу:

50...140

150...120

140

70

Условия неотрицательности:......

Производственные затраты:...

Транспортные затраты:...

Суммарные затраты:...

2. Рассмотрим различные варианты строительства, чтобы суммарная мощность построенных филиалов была не меньше потребностей.

1. Строим все филиалы y(1)=(1,1,1,1)

Вводим дополнительного фиктивного потребителя с объемом фиктивного спроса, равным разнице между предложением и спросом в исходной таблице: 50+150+140+70-140-120=150

Получаем транспортную задачу

Филиалы Потребитель

140 120 150

50 9 16 0

150 8 15 0

140 5 9 0

70 7 10 0

Заполним матрицу перевозок методом минимального элемента

Филиалы Потребитель

11...16...6

140 120 150

0 50 9 16 50 0

6 150 8 15 0 150

6 140 5 140 9 0 0

6 70 7 10 70 0 0

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

=...

Клетка с максимальной невязкой - клетка (1;3). Строим к ней цикл и переходим к следующей матрице перевозок

Филиалы Потребитель

5...16...0

140 120 150

0 50 9 16 50 0 0

0 150 8 15 0 150

0 140 5 140 9 0 0

6 70 7 10 70 0

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц.

Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

=...

Клетка с максимальной невязкой - клетка (3;2). Строим к ней цикл и переходим к следующей матрице перевозок

Филиалы Потребитель

12...16...0

140 120 150

0 50 9 16 50 0 0

0 150 8 15 0 150

7 140 5 140 9 0 0

6 70 7 10 70 0

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц.

Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

=...

Клетка с максимальной невязкой - клетка (2;1). Строим к ней цикл и переходим к следующей матрице перевозок

Филиалы Потребитель

8...12...0

140 120 150

0 50 9 16 0 50

0 150 8 50 15 0 100

3 140 5 90 9 50 0

2 70 7 10 70 0

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц.

Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

=...

Все условия оптимальности выполнены. Таким образом, мы получили оптимальный план:

X(1)*= 0 0 Транспортные затраты составляют: S1(1)= 8?50+5?90+9?50+10?70=2000

50 0 Производственные затраты: S0(1)=50·9+150·10+140·16+70·5=4540

90 50 Общие затраты составляют:...2000+4540=6540

0 70

2. Исключаем первый филиал.... =...

Вводим дополнительного фиктивного потребителя с объемом фиктивного спроса, равным разнице между предложением и спросом в исходной таблице: 100. Получаем транспортную задачу. Заполним матрицу перевозок методом минимального элемента:

Филиалы Потребитель

5...15...0

140 120 100

0 150 8 15 50 0 100

0 140 5 140 9 0 0

5 70 7 10 70 0

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц.

Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

=...

Клетка с максимальной невязкой - клетка (2;2). Строим к ней цикл и переходим к следующей матрице перевозок

Филиалы Потребитель

11...15...0

140 120 100

0 150 8 15 50 0 100

6 140 5 140 9 0 0

5 70 7 10 70 0

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц.

Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

Клетка с максимальной невязкой - клетка (1;1). Строим к ней цикл и переходим к следующей матрице перевозок

Филиалы Потребитель

8...12...0

140 120 100

0 150 8 50 15 0 100

3 140 5 90 9 50 0

2 70 7 10 70 0

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц.

Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

Все условия оптимальности выполнены. Таким образом, мы получили оптимальный план:

X(2)*= 0 0 Транспортные затраты составляют: S1(2)= 8?50+5?90+9?50+10?70=2000

50 0 Производственные затраты: S0(2)=150·10+140·16+70·5=4090

90 50 Общие затраты составляют:...2000+4090=6090

0 70

3. Исключаем второй филиал.... =...

В данном случае условие баланса выполняется (суммарный спрос равен суммарному предложению: 50+140+70=140+120)

Получаем транспортную задачу.

Филиалы Потребитель

13...16

140 120

0 50 9 16 50

8 140 5 140 9

6 70 7 0 10 70

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

Клетка с максимальной невязкой - клетка (1;1). Строим к ней цикл и переходим к следующей матрице перевозок

Филиалы Потребитель

9...13

140 120

0 50 9 50 16

4 140 5 90 9 50

3 70 7 10 70

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

Все условия оптимальности выполнены. Таким образом, мы получили оптимальный план:

X(3)*= 50 0 Транспортные затраты составляют: S1(3)= 9?50+5?90+9?50+10?70=2050

0 0 Производственные затраты: S0(1)=50·9+140·16+70·5=2631

90 50 Общие затраты составляют:...2050+2631=4681

0 70

4. Исключаем третий филиал.... =...

Вводим дополнительного фиктивного потребителя с объемом фиктивного спроса, равным разнице между предложением и спросом в исходной таблице: 10. Получаем транспортную задачу. Заполним матрицу перевозок методом минимального элемента:

Филиалы Потребитель

9...16...0

140 120 10

0 50 9 16 40 0 10

1 150 8 70 15 80 0

2 70 7 70 10 0

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц.

Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

=...

Клетка с максимальной невязкой - клетка (3;2). Строим к ней цикл и переходим к следующей матрице перевозок

Филиалы Потребитель

9...16...0

140 120 10

0 50 9 16 40 0 10

1 150 8 140 15 10 0

6 70 7 10 70 0

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц.

Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

Все условия оптимальности выполнены. Таким образом, мы получили оптимальный план:

X(4)*= 0 40 Транспортные затраты составляют: S1(4)= 8?140+16?40+15?10+10?70=2610

140 10 Производственные затраты: S0(4)=50·9+150·10+70·5=2300

0 0 Общие затраты составляют:...2610+2300=4910

0 70

5. Исключаем четвертый филиал.... =...

Вводим дополнительного фиктивного потребителя с объемом фиктивного спроса, равным разнице между предложением и спросом в исходной таблице: 80. Получаем транспортную задачу. Заполним матрицу перевозок методом минимального элемента:

Филиалы Потребитель

8...15...0

140 120 80

0 50 9 16 0 50

0 150 8 0 15 120 0 30

3 140 5 140 9 0

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц.

Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

=...

Клетка с максимальной невязкой - клетка (3;2). Строим к ней цикл и переходим к следующей матрице перевозок

Филиалы Потребитель

8...12...0

140 120 80

0 50 9 16 0 50

0 150 8 120 15 0 30

3 140 5 20 9 120 0

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц.

Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

=...

Все условия оптимальности выполнены. Таким образом, мы получили оптимальный план:

X(5)*= 0 0 Транспортные затраты составляют: S1(5)= 8?120+5?20+9?120=2140

120 0 Производственные затраты: S0(5)=50·9+150·10+140·16=4190

20 120 Общие затраты составляют:...2140+4190=6330

0 0

6. Исключаем первый и четвертый филиалы.... =...

Вводим дополнительного фиктивного потребителя с объемом фиктивного спроса, равным разнице между предложением и спросом в исходной таблице: 30. Получаем транспортную задачу. Заполним матрицу перевозок методом минимального элемента:

Филиалы Потребитель

8...15...0

140 120 30

0 150 8 0 15 120 0 30

3 140 5 140 9 0

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц.

Находим невязки для пустых клеток:

=...

Клетка с максимальной невязкой - клетка (2;2). Строим к ней цикл и переходим к следующей матрице перевозок

Филиалы Потребитель

8...12...0

140 120 30

0 150 8 120 15 0 30

3 140 5 20 9 120 0

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц.

Находим невязки для пустых клеток:

=...

Все условия оптимальности выполнены. Таким образом, мы получили оптимальный план:

X(6)*= 0 0 Транспортные затраты составляют: S1(6)= 8?120+5?20+9?120=2140

120 0 Производственные затраты: S0(6)=150·10+140·16=3740

20 120 Общие затраты составляют:...2140+3740=5880

0 0

Сравнивая полученные результаты, приходим к выводу об оптимальности третьего варианта размещения филиалов, а именно:

X(3)*= 50 0 Транспортные затраты составляют: S1(3)= 9?50+5?90+9?50+10?70=2050

0 0 Производственные затраты: S0(1)=50·9+140·16+70·5=2631

90 50 Общие затраты составляют:...2050+2631=4681

0 70

Задача №3

Администрация производственной фирмы желает рассчитать еженедельную программу выпуска своих изделий А и В, которая дает максимум чистого дохода на рубль всех сделанных затрат. Изделие А гарантировано реализуется по цене 921 руб., а изделие В по цене 82,2 руб.

Расход сырья на изделие А составляет 2 кг., а на изделие В ? 4 кг. Расход оборудования на изделие А составляет 4 ст. час., на изделие В ? 3 ст.час. Минимальные объемы сырья и станочного парка, при которых не произойдет остановки производства составляют, соответственно: 900 кг и 800 ст.час. в неделю.

Фирма же имеет 1800 кг сырья и 1600 ст.час. оборудования. Себестоимости изделия А и изделия В (без учета заработной платы) составляют, соответственно, 698,4 руб., 25 руб. Сумма оплаты рабочих и служащих фирмы с другими накладными расходами составляет 20,16 тыс. руб. в неделю.

Требуется:

1) Формализовать задачу управления ресурсами фирмы и разработать рациональную программу выпуска изделий.

Решение:

1. Строим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим...?объем выпуска изделий А...?объем выпуска изделий В

Ограничения:

По сырью: 900...2...+ 4......1800

По оборудованию: 800...4...+ 3......1600

Условия неотрицательности......0......0

Выручка:...=921...+ 82,2...

Затраты:...=698,4...+25...+20160

Доход:...?...= 222,6...+57,2...?20160

Критерий эффективности ? рентабельность:...

Получили задачу дробно-линейного программирования. Запишем математическую модель задачи:

0......0

2...+ 4......1800

?2...? 4......?900

4...+ 3......1600

?4...? 3......?800

2. Найдем решение задачи симплекс-методом.

Введем балансовые переменные:

1800?2...? 4......0

?900+2...+ 4......0

1600?4...? 3......0

?800+4...+3......0

2.1. Исходная симплекс-таблица имеет вид:

?х1 ?х2 1 ? y4 ?х2 1

=...

=...

=...

=...

=...

=...

?y4 ?y2 1

=...

=...

=...

=...

=...

=...

Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то переходим ко второй фазе симплекс-метода.

2.2. Обобщающим критерием оптимальности является неотрицательность определителей....

Так как определитель...