Задачи 1, 2, 7, 8. Найти стратегию рационального использования свободных денежных средств, имеющихся на текущем счете

  • ID: 03816 
  • 22 страницы

Фрагмент работы:

Задачи 1, 2, 7, 8. Найти стратегию рационального использования сво…

Задача 1.

Найти стратегию рационального использования свободных денежных средств, имеющихся на текущем счете фирмы, путем оформления депозитов под разные проценты на возможные сроки. Оформление депозитов не должно превышать прогнозируемый на три предстоящих месяца график ежемесячных расходов и приходов фирмы и требование иметь на счете необходимый резерв средств.

Депозиты можно оформлять с погашением не позднее начала 4?го месяца на сроки: один, два, три месяца, соответственно, под 1%, 2,5%, 4%. Оформление 2?х месячного депозита, начиная со второго месяца, пока не предлагается. В нижеследующей таблице приведен пример возможной стратегии оформления депозитов в течении рассматриваемого трехмесячного промежутка времени.

Фирма заинтересована в нахождении такой допустимой стратегии оформления депозитов, при которой суммарный доход от процентов на выданные депозиты составит максимальную величину.

Требуется:

1) Формализовать задачу управления, представив в виде ЭММ, упростить и представить графики.

2) Установить, будет ли оптимальной приведенная в таблице, стратегия управления свободным оборотным капиталом фирмы. Если нет, то найти такую стратегию и оптимальные двойственные оценки ограничений. Дать экономическую интерпретацию двойственных оценок.

Допустимая стратегия управления оборотным капиталом фирмы (тыс. руб.)

Начальная сумма 1 месяц 2 месяц 3 месяц конец Суммарный доход

по проц.

210 60 60 60

Погашенные вклады 0 120 60,6 121,21

Доход по процентам 0 1,2 0,61 1,21 3,02

1?месячный депозит 120 60,6 121,21

2?месячный депозит 0 0 0

3?месячный депозит 0 0 0

Расходы/(?) приходы 30 60,6 ?60

Необходимый резерв 60 60 60

Решение:

I. Построим экономико-математическую модель.

1) Введем обозначения:

? размер одномесячного депозита, оформленного в первом месяце

? размер одномесячного депозита, оформленного во втором месяце

? размер одномесячного депозита, оформленного в третьем месяце

? размер двухмесячного депозита, оформленного в первом месяце

? размер трехмесячного депозита, оформленного в первом месяце

2) составим ограничения (баланс приходов или расходов фирмы по каждому месяцу):

1?й месяц:...

2?й месяц:...

3?й месяц:...

3) нормализуем балансовые уравнения

4) критерий эффективности:

Для подготовки к построению симплекс-таблицы:

1) составим двойственную задачу:

2) введем дополнительные балансовые переменные:

3) введем балансовые переменные для двойственной задачи:

II. Найдем решение, используя алгоритм симплекс-метода.

1) Строим исходную симплекс-таблицу:

=

=

=

=

=

=

1

=...

=...

=...

=...

2) Избавляемся от ограничений ? равенств.

Первый шаг: Выбираем разрешающую строку ? первая строка (на первом шаге можно выбрать любую строку), разрешающий столбец ? пятый (где больше нулевых элементов). Вычеркиваем пятый столбец

=

=

=

=

=

0...=

1

=...

=...

=...

=...

Второй шаг: Выбираем разрешающую строку ? вторая строка, разрешающий столбец ? второй. Вычеркиваем пятый столбец

=

=

0...=

=

=

1

=...

=...

=...

=...

Третий шаг: Разрешающая строка ? третья, разрешающий столбец ? третий.

Вычеркиваем второй столбец

=

=

0...=

=

1

=...

=...

=...

=...

3) найдем оптимальное решение двойственным симплекс-методом.

В качестве разрешающей строки возьмем вторую (соответствующую отрицательному элементу столбца свободных членов), а разрешающий столбец выбирается по максимальному отрицательному отношению коэффициентов Z?строки к соответствующим им по столбцам элементам разрешающей строки:

Разрешающая строка ? третья, разрешающий столбец ? второй

=

=

=

1

=...

=...

=...

=...

Так как все элементы Z?строки т столбца свободных членов положительны, получено оптимальное решение:...

При этом максимальный суммарный доход в целом равен 3.58 тыс. руб., что существенно выше заданного дохода по процентам (3.02).

Таким образом, максимальный суммарный доход по депозитам равен 3.58 тыс. руб.

Стратегия управления свободным оборотным капиталом фирмы:

= 60 ? одномесячного депозита в первом месяце в размере 60 тыс.руб.

= 0 ? одномесячный депозит во втором месяце не оформляется

= 60 ? одномесячного депозит в третьем месяце в размере 60 тыс.руб.

= 0 ? двухмесячного депозит в первом месяце не оформляется

= 60 ? трехмесячного депозит в первом месяце в размере 60 тыс.руб.

Задача №2

Для полного удовлетворения еженедельного спроса на продукцию фирмы в пунктах В1 и В2 в объемах 70 единиц и 120 единиц администрация фирмы рассматривает четыре возможных проекта создания дополнительных производственных филиалов в пунктах А1, А2, А3 и А4. Проектируемые еженедельные мощности, расчетные себестоимости единиц продукции и ожидаемые транспортные расходы на доставку единицы продукции от созданного филиала названным потребителям приведены в нижеследующей таблице.

Имя проекта Мощность. Ед. Себестоимость, руб. Транспортный тариф, руб.

До пункта В1 До пункта В2

Филиал А1 120 9 6 12

Филиал А2 10 8 7 13

Филиал А3 120 15 3 6

Филиал А4 60 5 5 7

Необходимо определить, какие из проектируемых филиалов следует создать и какие грузопотоки от них направить названным потребителям, чтобы при полном удовлетворении спроса суммарные затраты на производство и транспортировку продукции были минимальными.

Требуется:

1) Формализовать задачу управления размещением филиалов и транспортировку продукции.

2) Найти решение перебором всех возможных вариантов размещения филиалов и транспортировки продукции.

Решение:

1. Составим экономико-математическую модель

Пусть xij - объем перевозок от i-го филиала до j-го пункта, а

Тогда

Ограничения по мощности:

120

10

120

60

Ограничения по спросу:

70

120

Условия неотрицательности:......

Производственные затраты:...

Транспортные затраты:...

Суммарные затраты:...

2. Рассмотрим различные варианты строительства, чтобы суммарная мощность построенных филиалов была не меньше потребностей.

=...

=...

=...

=...

=...

=...

=...

1. Строим все филиалы y(1)=(1,1,1,1)

Вводим дополнительного фиктивного потребителя с объемом фиктивного спроса, равным разнице между предложением и спросом в исходной таблице: 120+10+120+60?70?120=120

Получаем транспортную задачу

Филиалы Потребитель

70 120 120

120 6 70 12 50 0

10 7 13 10 0

120 3 6 60 0 60

=...

Филиалы Потребитель

70 120 120

120 6 70 12 50 0

10 7 13 0 10

120 3 6 70 0 50

=...

Филиалы Потребитель

70 120 120

120 6 70 12 0 50

10 7 13 0 10

120 3 6 120 0 0

=...

Филиалы Потребитель

70 120 120

120 6 70 12 0 50

10 7 13 0 10

120 3 0 6 120 0

=...

Филиалы Потребитель

70 120 120

120 6 10 12 0 110

10 7 13 0 10

120 3 60 6 60 0

=...

Все условия оптимальности выполнены. Таким образом, мы получили оптимальный план:

X(1)*= 10 0 Транспортные затраты составляют:

=...

60 60 Общие затраты составляют:

0 60...

2. Исключаем филиал.... =...

Получаем транспортную задачу.

Филиалы Потребитель

70 120

10 7 10 13

120 3 60 6 60

=...

Таким образом, мы получили оптимальный план:

X(2)*= 0 0 Транспортные затраты составляют:

=...

60 60 Общие затраты составляют:

0 60...

3. Исключаем филиал.... =...

В данном случае условие баланса выполняется (суммарный спрос равен суммарному предложению: 120+120+60-70-120=110)

Получаем транспортную задачу.

Филиалы Потребитель

70 120 110

120 6 70 12 50 0

120 3 6 70 0 50

=...

Филиалы Потребитель

70 120 110

120 6 70 12 0 50

120 3 6 120 0 0

=...

Филиалы Потребитель

70 120 110

120 6 70 12 0 50

120 3 0 6 120 0

=...

Филиалы Потребитель

70 120 110

120 6 10 12 0 110

120 3 60 6 60 0

=...

Таким образом, мы получили оптимальный план:

X(3)*= 10 0 Транспортные затраты составляют:

=...

60 60 Общие затраты составляют:

0 60...

4. Исключаем филиал.... =...

Получаем транспортную задачу.

Филиалы Потребитель

70 120

120 6 70 12 50

10 7 13 10

=...

Таким образом, получаем опорный план оптимальный план:

X(4)*= 70 50 Транспортные затраты составляют:

=...

0 0 Общие затраты составляют:

0 60...

5. Исключаем филиал.... =...

Получаем транспортную задачу.

Филиалы Потребитель

70 120 60

120 6 70 12 50 0

10 7 13 10 0

=...

Филиалы Потребитель

70 120 60

120 6 70 12 50 0

10 7 13 0 10

=...

Филиалы Потребитель

70 120 60

120 6 70 12 0 0 50

10 7 13 0 10

=...

Получаем опорный план оптимальный план:

X(5)*= 70 0 Транспортные затраты составляют:

=...

0 120 Общие затраты составляют:

0 0...

Сравнивая полученные результаты, приходим к выводу об оптимальности четвертого варианта размещения филиалов, а именно:

X(4)*= 70 50 Транспортные затраты составляют:

=...

0 0 Общие затраты составляют:

0 60...

Задача №3

Администрация производственной фирмы желает рассчитать еженедельную программу выпуска своих изделий А и В, которая дает максимум чистого дохода на рубль всех сделанных затрат. Изделие А гарантировано реализуется по цене 680,4 руб., а изделие В по цене 500,0 руб.

Расход сырья на изделие А составляет 1 кг., а на изделие В ? 1 кг. Расход оборудования на изделие А составляет 1 ст. час., на изделие В ? 2 ст.час. Минимальные объемы сырья и станочного парка, при которых не произойдет остановки производства составляют, соответственно: 250 кг и 500 ст.час. в неделю.

Фирма же имеет 750 кг сырья и 1000 ст.час. оборудования. Себестоимости изделия А и изделия В (без учета заработной платы) составляют, соответственно, 300,0 руб., 195,2 руб. Сумма оплаты рабочих и служащих фирмы с другими накладными расходами составляет 2,40 тыс. руб. в неделю.

Требуется:

1) Формализовать задачу управления ресурсами фирмы и разработать рациональную программу выпуска изделий.

Решение:

1. Строим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим...?объем выпуска изделий А...?объем выпуска изделий В

Ограничения:

По сырью: 250......+......750

По оборудованию: 500......+ 2......1000

Условия неотрицательности......0......0

Выручка:...=680,4...+ 500...

Затраты:...=300...+195,2...+2400

Доход:...?...= 380,4...+304,8...?2400

Критерий эффективности ? рентабельность:...

Получили задачу дробно-линейного программирования. Запишем математическую модель задачи:

0......0

+......750

?...?......?250

+ 2......1000

?...? 2......?500

2. Найдем решение задачи симплекс-методом.

Введем балансовые переменные:

750?...?......0

?250+...+......0

1000?...? 2......0

?500+...+2......0

2.1. Исходная симплекс-таблица имеет вид:

?х1 ?х2 ?y2 ?х2

=...

=...

=...

=...

=...

=...

?y4 ?х2 ? y1 ? х2

=...

=...

=...

=...

=...

=...

? y1 ? y3 ? х1 ? y3

=...

=...

=...

=...

=...

=...

Так как определители положительны, получено оптимальное решение:...(0; 500)

Значение рентабельности:...

Данный результат свидетельствует о прибыльности производственного процесса.

Задача №5

Администрация фирмы желает увеличить производство своих изделий за счет привлечения дополнительной производственной площади в объеме 33 кв. метров, а также покупки у машиностроительных фирм современных автоматов по производству аналогичной продукции на сумму 55 млн. рублей.

После изучения соответствующих рекламных проспектов подходящими для покупки признаны: автомат фирмы А, занимающий площадь 2 кв. метра, имеющий цену 3 млн. руб., и обладающий производительностью 4 изделий в час; а также автомат фирмы В, занимающий площадь 2 кв. метра, имеющий цену 4 млн. руб., и дающий производительность 5 изделий в час.

Администрацию интересует вопрос: в каких количествах нужно приобрести автоматы названных фирм, чтобы созданная дополнительная мощность имела наибольшую производительность.

Требуется:

1) Формализовать задачу управления закупками оборудования, как модель дискретного программирования.

2) Применить метод ветвей и границ и получить оптимальное численное решение.

Решение:

1. Строим экономико-математическую модель.

Обозначим:...- количество станков-автоматов фирмы А

- количество станков-автоматов фирмы В

Ограничения: 2...

целые

Критерий эффективности:...

2. Воспользуемся алгоритмом ветвей и границ. Для этого снимаем ограничение целочисленности переменных исходной задачи и решаем релаксированную задачу (0).

Задача 0....

x1 x2 1 x1 y2 1

y1 2 2 33 y1 0,5 -0,5 5,5

y2 3 4 55 x2 0,75 4 13,5

Z -4 -5 0 Z 0,25 1,25 68,75

y1 y2

x1 2 -1 11

x2 -1,5 4,75 5,5

Z 0,5 1 71,5

Так как в...-строке все элементы положительны, найдено оптимальное решение задачи 0:

=...

Так как решение не является целочисленным, в состав ограничений задачи 0 вводим дополнительные ограничения: либо...(подзадача 1.1), либо... (подзадача 1.2).

Задача 1.1. 2...

x1 x2 1 x1 y3

y1 2 2 33 y1 2 -2 23

y2 3 4 55 y2 3 -4 35

y3 0 1 5 x2 0 1 5

Z -4 -5 0 Z -4 5 25

y1 y3

x1 0,5 -1 11,5

y2 -1,5 -1 35

x2 0 1 5

Z 2 1 71

Получили оптимальное решение задачи 1.1.:...(11,5; 5)...71

Задача 1.2....

x1 x2 1 x1 y3

y1 2 2 33 y1 2 2 21

y2 3 4 55 y2 3 4 31

y3 0 -1 -6 x2 0 0 6

Z -4 -5 0 Z -4 -5 30

y3 y2

y1 0,67 0,67 -0,3

x1 1,3 0,3 10,3

x2 -1 0 7

Z 0,3 1,3 71,3

Задача не имеет решения.

Задача 2.2....

x1 x2 1 x1 y3

y1 2 2 33 y1 2 -2 23

y2 3 4 55 y2 3 -4 35

y3 0 1 5 x2 0 1 5

y4 1 0 11 y4 1 0 11

Z -4 -5 0 Z -4 -5 25

y4 y3

y1 -2 -2 1

y2 -3 -4 2

x2 0 1 5

x1 1 0 11

Z 4 5 69

Получили оптимальное решение задачи 2.1.:...(11; 5)...69

Задача 2.2....

x1 x2 1 y4 x2 1

y1 2 2 33 y1 2 2 9

y2 3 4 55 y2 3 4 19

y3 0 1 5 y3 0 1 5

y4 -1 0 -12 x1 -1 0 12

Z -4 -5 0 Z -4 -5 48

y4 y3 1

y4 2 2 -1

y2 3 -4 -1 Так как в последнем столбце есть

x2 0 1 5 отрицательные элементы, а в

x1 -1 0 12 строке их нет, то данная задача

Z -4 -5 73 решения не имеет

Значит, получили оптимальное решение задачи:...(11; 5)...69

Таким образом, для того чтобы достичь наибольшей суммарной производительности 69 изделия в час, следует приобрести 11 станок-автомат фирмы А и 5 станков-автоматов фирмы В.

Задача 7.

Фирма может влиять дополнительным финансированием на скорость строительства своего торгового павильона. Очередность выполнения работ, их нормальная и ускоренная продолжительность выполнения, а также стоимость строительно-монтажных работ при нормальном и ускоренном режиме их выполнения приведены в следующей таблице:

Имя работы Опирается на работу Нормальный срок Ускоренный срок Нормальная стоимость Срочная стоимость

А E,H,B 3 2 2 3

B G,Q 3 2 2 3

C V 9 6 6 9

D C,A 3 2 2 3

E 9 6 6 9

F E,H,B 6 4 4 6

G 9 4 4 9

H G,Q 3 2 2 3

Q V 7 2 2 7

V 3 2 2 3

Требуется:

1. С учетом технологической последовательности работ построить сетевой график выполнения этих работ

2. Рассчитать временные характеристики сетевого графика при нормальном режиме выполнения работ. Найти критический срок, указать все возможные критические пути, определить стоимость всего комплекса работ.

3. Указать стратегию минимального удорожания комплекса работ при сокращении сроков строительства на 3 дня. В какую итоговую сумму обойдется фирме ускоренная стройка павильона?

Решение:

1. Построим сетевой график

Рассчитываем временные характеристики сетевого графика.

Временные характеристики событий:

Раннее наступления события -...

=...

=...

=...

=...

Находим...

=19

=16;...=13

=10

=3

=0

Критическое время...19 дней

Критические пути: (V,Q,B,F), (V,Q,B,A,D)

Стоимость строительно-монтажных работ в нормальном режиме выполнения:

S=32 тыс. руб.

Найдем резервы времени выполнения работ:

Свободный резерв -...

Полный резерв -...

Результаты запишем в таблицу:

Имя работы Свободный резерв... Полный резерв......

A 0 0 1

B 0 0 1

C 4 4 1

D 0 0 1

E 4 4 1

F 0 0 1

G 1 1 1

H 0 0 1

Q 0 0 1

V 0 0 1

3. Найдем стратегию минимального удорожания комплекса работ при сокращении сроков строительства сроком на 3 дня.

Найдем удорожание всех работ за 1 день по формуле:...

Удорожание комплекса работ при сокращении на 3 дня:...=3тыс. руб.

Стоимость работ в ускоренном режиме: Sу=35 тыс. руб.

Задача 8.

Запишем данные задачи в виде таблицы:

№ Месяц Дополнительный

спрос Дополнительная

мощность Емкость склада Стоимость

переналадки Себестоимость

машины Затраты на хранение

1 Январь 6 7 1 5,4 14,6 0,9

2 Февраль 7 9 1 5,2 15,4 0,6

3 Март 6 9 1 4,9 15,9 0,8

4 Апрель 3 5 1 4,6 16,7 0,3

Пусть xt - количество дополнительно выпущенных автомобилей, а ht - объем хранения готовой продукции. Тогда спрос на автомобили определится следующим образом:

=...

Ограничения по спросу:

=...

Ограничения по мощности: 0?xt?Mt

0?x1?7, 0?x2?9, 0?x3?9, 0?x4?5

Ограничения по емкости склада: 0?ht?Et

0?h1?1, 0?h2?1, 0?h3?1, h4=0 (необходимо для минимизации затрат)

Определим затраты: ft - суммарные затраты на переналадку, производство и хранение продукции в месяце t:

=...

=...

=...

=...

Критерий эффективности:...

Решаем задачу методом динамического программирования

Январь

Спрос x1 h1 f1 ?1=f1(x1,h1)

6 7 1 108,5 108,5

6 0 93 93

Февраль

Спрос h1 x2 h2 f2 ?2=min{?1(x1,h1)+f2(x2,h2)}

7 1 7 1 113,6 222,1

0 8 1 129 222,0

1 6 0 97,6 206,1

0 7 0 113 206,0

Март

Спрос h2 x3 h3 f3 ?3=min{?2(h1,x2,h2)+f3(x3,h3)}

6 1 6 1 101,1 323,1

0 7 1 117 323,0

1 5 0 84,4 306,4

0 6 0 100,3 306,3

Апрель

Спрос h3 x4 f4 ?4=min{?3(x3,h3)+f4(x4,h4)}

3 1 2 38 361,0

0 3 54,7 361,0

Находим оптимальное решение:

x4=3 h4=0

x3=6 h3=0

x2=7 h2=0

x1=6 h1=0

Себестоимость наладки = 20,1тыс.руб

Себестоимость машин = 340,9тыс.руб

Минимальные затраты для производства, переналадки и хранения продукции за 4 месяца составляют 361 тыс.руб