Вариант 755. Найти стратегию рационального использования свободных денежных средств, имеющихся на текущем счете фирмы

  • ID: 03735 
  • 18 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 755. Найти стратегию рационального использования свободных…

Задача 1.

Найти стратегию рационального использования свободных денежных средств, имеющихся на текущем счете фирмы, путем оформления депозитов под разные проценты на возможные сроки. Оформление депозитов не должно превышать прогнозируемый на три предстоящих месяца график ежемесячных расходов и приходов фирмы и требование иметь на счете необходимый резерв средств.

Депозиты можно оформлять с погашением не позднее начала 4?го месяца на сроки: один, два, три месяца, соответственно, под 1%, 2,5%, 4%. Оформление 2?х месячного депозита, начиная со второго месяца, пока не предлагается. В нижеследующей таблице приведен пример возможной стратегии оформления депозитов в течении рассматриваемого трехмесячного промежутка времени.

Фирма заинтересована в нахождении такой допустимой стратегии оформления депозитов, при которой суммарный доход от процентов на выданные депозиты составит максимальную величину.

Требуется:

1) Формализовать задачу управления, представив в виде ЭММ, упростить и представить графики.

2) Установить, будет ли оптимальной приведенная в таблице, стратегия управления свободным оборотным капиталом фирмы. Если нет, то найти такую стратегию и оптимальные двойственные оценки ограничений. Дать экономическую интерпретацию двойственных оценок.

Таблица 1.1.

Допустимая стратегия управления оборотным капиталом фирмы (тыс. руб.)

Начальная сумма 1 месяц 2 месяц 3 месяц конец Суммарный доход

по проц.

55 10 10 10

Погашенные вклады 0 30 120,3 120,6

Доход по процентам 0 0,3 1,2 1,21 2,71

1?месячный депозит 30 120,3 120,6

2?месячный депозит 0 0 0

3?месячный депозит 0 0 0

Расходы/(?) приходы 15 ?90 0,9

Необходимый резерв 10 10 10

Решение:

I. Построим экономико-математическую модель.

1) Введем обозначения:

? размер одномесячного депозита, оформленного в первом месяце

? размер одномесячного депозита, оформленного во втором месяце

? размер одномесячного депозита, оформленного в третьем месяце

? размер двухмесячного депозита, оформленного в первом месяце

? размер трехмесячного депозита, оформленного в первом месяце

2) составим ограничения (баланс приходов или расходов фирмы по каждому месяцу):

1?й месяц:...

2?й месяц:...

3?й месяц:...

3) нормализуем балансовые уравнения

4) критерий эффективности:

Для подготовки к построению симплекс-таблицы:

1) составим двойственную задачу:

2) введем дополнительные балансовые переменные:

3) введем балансовые переменные для двойственной задачи:

II. Найдем решение, используя алгоритм симплекс-метода.

1) Строим исходную симплекс-таблицу:

=

=

=

=

=

=

1

=...

=...

=...

=...

2) Избавляемся от ограничений ? равенств.

Первый шаг: Выбираем разрешающую строку ? первая строка (на первом шаге можно выбрать любую строку), разрешающий столбец ? пятый (где больше нулевых элементов). Вычеркиваем пятый столбец

=

=

=

=

=

0...=

1

=...

=...

=...

=...

Второй шаг: Выбираем разрешающую строку ? вторая строка, разрешающий столбец ? второй. Вычеркиваем пятый столбец

=

=

0...=

=

=

1

=...

=...

=...

=...

Третий шаг: Разрешающая строка ? третья, разрешающий столбец ? третий. Вычеркиваем второй столбец

=

=

0...=

=

1

=...

=...

=...

=...

Так как все элементы Z?строки и столбца свободных членов положительны, получено оптимальное решение:...

При этом максимальный суммарный доход в целом равен 3 тыс. руб., что существенно выше заданного дохода по процентам (2,71).

Таким образом, максимальный суммарный доход по депозитам равен 3 тыс. руб.

Стратегия управления свободным оборотным капиталом фирмы:

=0? одномесячного депозита в первом месяце не оформляется.

=90 ?одномесячный депозит во втором месяце в размере 90 тыс. руб.

=90 ? одномесячного депозит в третьем месяце в размере 90 тыс. руб.

=0 ? двухмесячного депозит в первом месяце не оформляется.

=30 ? трехмесячного депозит в первом месяце в размере 30 тыс. руб.

Задача №2

Для полного удовлетворения еженедельного спроса на продукцию фирмы в пунктах В1 и В2 в объемах 130 единиц и 170 единиц администрация фирмы рассматривает четыре возможных проекта создания дополнительных производственных филиалов в пунктах А1, А2, А3 и А4. Проектируемые еженедельные мощности, расчетные себестоимости единиц продукции и ожидаемые транспортные расходы на доставку единицы продукции от созданного филиала названным потребителям приведены в нижеследующей таблице.

Имя проекта Мощность (ед.) Себестоимость (руб.) Транспортный тариф (руб.)

До пункта В1 До пункта В2

Филиал №1 30 8 4 9

Филиал №2 120 4 8 13

Филиал №3 140 10 5 7

Филиал №4 10 5 7 8

Необходимо определить, какие из проектируемых филиалов следует создать и какие грузопотоки от них направить названным потребителям, чтобы при полном удовлетворении спроса суммарные затраты на производство и транспортировку продукции были минимальными.

Требуется:

1) Формализовать задачу управления размещением филиалов и транспортировку продукции.

2) Найти решение перебором всех возможных вариантов размещения филиалов и транспортировки продукции.

Решение:

1. Составим экономико-математическую модель

Пусть xij - объем перевозок от i-го филиала до j-го пункта, а

Тогда

Ограничения по мощности:

30

120

140

10

Ограничения по спросу:

130

170

Условия неотрицательности:......

Производственные затраты:...

Транспортные затраты:...

Суммарные затраты:...

2. Рассмотрим различные варианты строительства, чтобы суммарная мощность построенных филиалов была не меньше потребностей.

1. Строим все филиалы y(1)=(1,1,1,1)

Условие баланса выполняется (суммарный спрос равен суммарному предложению: 30+120+140+10=130+170)

Получаем транспортную задачу. Заполним матрицу перевозок методом минимального элемента

Филиалы Потребитель

4...6

130 170

0 30 4 30 9

7 120 8 13 120

?1 140 5 100 7 40

?2 10 7 8 10

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц.

Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

Все условия оптимальности выполнены. Таким образом, мы получили оптимальный план:

X(1)*= 30 0 Транспортные затраты составляют: S1(1)=4?30+13?120+5?100+7?40+8?10=2540

0 120 Производственные затраты: S0(1) =30?8+120?4+140?10+10?5=2170

100 40 Общие затраты составляют: S=2540+2170=4710

0 10

Задача №3

Администрация производственной фирмы желает рассчитать еженедельную программу выпуска своих изделий А и В, которая дает максимум чистого дохода на рубль всех сделанных затрат. Изделие А гарантировано реализуется по цене 239,2 руб., а изделие В по цене 652,0 руб.

Расход сырья на изделие А составляет 1 кг., а на изделие В ? 1 кг. Расход оборудования на изделие А составляет 1 ст. час., на изделие В ? 2 ст.час. Минимальные объемы сырья и станочного парка, при которых не произойдет остановки производства составляют, соответственно: 350 кг и 450 ст.час. в неделю.

Фирма же имеет 700 кг сырья и 900 ст.час. оборудования. Себестоимости изделия А и изделия В (без учета заработной платы) составляют, соответственно, 88,5 руб., 250 руб. Сумма оплаты рабочих и служащих фирмы с другими накладными расходами составляет 5,76 тыс. руб. в неделю.

Требуется:

1) Формализовать задачу управления ресурсами фирмы и разработать рациональную программу выпуска изделий.

Решение:

1. Строим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим...?объем выпуска изделий А...?объем выпуска изделий В

Ограничения:

По сырью: 350......+......700

По оборудованию: 450......+ 2......900

Условия неотрицательности......0......0

Выручка:...=239,2...+ 652...

Затраты:...=88,5...+250...+5760

Доход:...?...=150,7...+402...?5760

Критерий эффективности ? рентабельность:...

Получили задачу дробно-линейного программирования. Запишем математическую модель задачи:

0......0

+......700

?...?......?350

+ 2......900

?...? 2......?450

2. Найдем решение задачи симплекс-методом.

Введем балансовые переменные:

700?...?......0

?350+...+......0

900?...?2......0

?450+...+2......0

2.1. Исходная симплекс-таблица имеет вид:

?х1 ?х2 ?y4 ?х2

=...

=...

=...

=...

=...

=...

Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то переходим ко второй фазе симплекс-метода.

2.2. Обобщающим критерием оптимальности является неотрицательность определителей....

Так как... и..., то на следующем этапе выберем в качестве разрешающего столбца второй.

? y4 ?y2

=...

=1103076

=...

=...

=...

=...

=...

=...

Так как..., то на следующем этапе выберем в качестве разрешающего столбца первый.

? х1 ?y2

= 1251548

= ?875520

=...

=...

=...

=...

=...

=...

Так как..., то на следующем этапе выберем в качестве разрешающего столбца второй.

? х1 ? y3

= 1023588

=437760

=...

=...

=...

=...

=...

=...

Так как определители положительны, получено оптимальное решение:...(0; 350)

Значение рентабельности:...

Данный результат свидетельствует о убыточности производственного процесса.

Задача №5

Администрация фирмы желает увеличить производство своих изделий за счет привлечения дополнительной производственной площади в объеме 19 кв. метров, а также покупки у машиностроительных фирм современных автоматов по производству аналогичной продукции на сумму 51 млн. рублей.

После изучения соответствующих рекламных проспектов подходящими для покупки признаны: автомат фирмы А, занимающий площадь 2 кв. метра, имеющий цену 5 млн. руб., и обладающий производственностью 17 изделий в час; а также автомат фирмы В, занимающий площадь 1 кв. метра, имеющий цену 4 млн. руб., и дающий производительность 13 изделий в час.

Администрацию интересует вопрос: в каких количествах нужно приобрести автоматы названных фирм, чтобы созданная дополнительная мощность имела наибольшую производительность.

Требуется:

1) Формализовать задачу управления закупками оборудования, как модель дискретного программирования.

2) Применить метод ветвей и границ и получить оптимальное численное решение.

Решение:

1. Строим экономико-математическую модель.

Обозначим:...- количество станков-автоматов фирмы А

- количество станков-автоматов фирмы В

Ограничения:...

целые

Критерий эффективности:...

2. Воспользуемся алгоритмом ветвей и границ. Для этого снимаем ограничение целочисленности переменных исходной задачи и решаем релаксированную задачу (0).

Задача 0....

x1 x2 1 x1 y2 1

y1 2 1 19 y1 0,75 -0,25 6,25

y2 5 4 51 x2 1,25 0,25 12,75

Z -17 -13 0 Z -0,75 3,25 165,75

y1 y2

x1 1,33333 -0,3333 8,33

x2 -1,6667 0,66667 2,33

Z 1 3 172

Так как в...-строке все элементы положительны, найдено оптимальное решение задачи 0:

=...

=172

Так как решение не является целочисленным, в состав ограничений задачи 0 вводим дополнительные ограничения: либо...(подзадача 1.1), либо... (подзадача 1.2).

Задача 1.1....

x1 x2 1 х1 у3

y1 2 1 19 y1 2 -1 17

y2 5 4 51 y2 5 -4 43

y3 0 1 2 x2 0 1 2

Z ?17 ?13 0 Z -17 13 26

у1 у3

х1 0,5 -0,5 8,5

y2 -2,5 -1,5 0,5

x2 0 1 2

Z 8,5 4,5 170,5

Получили оптимальное решение задачи 1.1.:...(8,5; 2)...170,5

Задача 1.2....

x1 x2 1 x1 y3

y1 2 1 19 y1 2 1 16

y2 5 4 51 y2 5 4 39

y3 0 ?1 ?3 x2 0 -1 3

Z ?17 ?13 0 Z -17 -13 39

x1 y2 y3 y2

y1 0,75 -0,25 6,25 y1 -0,6 -0,4 0,4

y3 1,25 0,25 9,75 x1 0,8 0,2 7,8

x2 1,25 0,25 12,75 x2 -1 0 3

Z -0,75 3,25 165,75 Z 0,6 3,4 171,6

Получили оптимальное решение задачи 1.2.:...(7,8; 3)...171,6

Так как... и решение задачи 1.2 нецелочисленное. То далее рассмотрим ветвь задачи 1.2. Так как решение не является целочисленным, в состав ограничений задачи 1.2 вводим дополнительные ограничения: либо...(подзадача 2.1), либо... (подзадача 2.2).

Задача 2.1....

x1 x2 1 x1 y3

y1 2 1 19 y1 2 1 16

y2 5 4 51 y2 5 4 39

y3 0 ?1 ?3 x2 0 -1 3

y4 1 0 7 y4 1 0 7

Z ?17 ?13 0 Z -17 -13 39

x1 y2 y4 y2

y1 0,75 -0,25 6,25 y1 -0,75 -0,25 1

y3 1,25 0,25 9,75 y3 -1,25 0,25 1

x2 1,25 0,25 12,75 x2 -1,25 0,25 4

y4 1 0 7 x1 1 0 7

Z -0,75 3,25 165,75 Z 0,75 3,25 171

Получили оптимальное решение задачи 2.1.:...(7; 4)...171

Задача 2.2....

x1 x2 1 y3 x2

y1 2 1 19 y1 2 1 3

y2 5 4 51 y2 5 4 11

y3 -1 0 -8 x1 -1 0 8

y4 0 -1 -3 y4 0 -1 -3

Z -25 -65 0 Z -25 -65 200

y3 y4

y1 2 1 0

y2 5 4 -1 Так как в последнем столбце есть

x1 -1 0 8 отрицательные элементы, а во второй

x2 0 -1 3 строке их нет, то данная задача

Z -25 -65 395 решения не имеет

Так как решение задачи 2.1 целочисленное, то получили оптимальное решение

(7; 4)...171

Таким образом, для того чтобы достичь наибольшей суммарной производительности 171 изделия в час, следует приобрести 7 станок-автомат фирмы А и 4 станков-автоматов фирмы В.

Построим дерево решений:

0 Z=172

=...

1.1.... =...

=...

2.1.... =...

=...

Задача 7.

Фирма может влиять дополнительным финансированием на скорость строительства своего торгового павильона. Очередность выполнения работ, их нормальная и ускоренная продолжительность выполнения, а также стоимость строительно-монтажных работ при нормальном и ускоренном режиме их выполнения приведены в следующей таблице:

Имя работы Опирается на работу Нормальный срок Ускоренный срок Нормальная стоимость Срочная стоимость

А E 16 14 70 80

B G 24 21 105 120

C 35 28 140 175

D C,F,Q 8 7 35 40

E V 16 14 70 80

F E 8 7 35 40

G V 8 7 35 40

H G 24 21 105 120

Q V 30 21 105 150

V 8 7 35 40

Требуется:

1. С учетом технологической последовательности работ построить сетевой график выполнения этих работ

2. Рассчитать временные характеристики сетевого графика при нормальном режиме выполнения работ. Найти критический срок, указать все возможные критические пути, определить стоимость всего комплекса работ.

3. Указать стратегию минимального удорожания комплекса работ при сокращении сроков строительства на 5 дня. В какую итоговую сумму обойдется фирме ускоренная стройка павильона?

1. Построим сетевой график

2. Рассчитываем временные характеристики сетевого графика.

Временные характеристики событий:

Раннее наступления события -...

=...

=...

=...

=...

=...

Находим...

=...

=...

=...

=...

Критическое время... 46 дней

Критический путь:...

Стоимость строительно-монтажных работ в нормальном режиме выполнения:

=...

руб.

Найдем резервы времени выполнения работ:

Свободный резерв -...

Полный резерв -...

Результаты запишем в таблицу:

Имя работы Свободный резерв... Полный резерв......

A 6 0 5

B 6 0 5

C 3 3 5

D 0 0 5

E 0 6 5

F 6 0 5

G 0 6 5

H 0 0 5

Q 0 0 5

V 0 0 5

3. Найдем стратегию минимального удорожания комплекса работ при сокращении сроков строительства сроком на 5 дней.

Найдем удорожание всех работ за 1 день по формуле:...

Сокращаем работы Q на 2 дня, работы D, V, и C на 1 день. Удорожание комплекса работ при сокращении этих работ составит:... тыс.руб.

Появляется новый критический путь:...

Стоимость работ в ускоренном режиме: Sу=735+25=760 тыс. руб.

Задача 8.

Запишем данные задачи в виде таблицы:

№ Месяц Дополнительный

спрос Дополнительная

мощность Емкость склада Стоимость

переналадки Себестоимость

машины Затраты на хранение

1 Январь 9 13 3 5.2 17.3 0.4

2 Февраль 9 7 1 15 18 0.5

3 Март 9 10 1 5.4 18.4 0.9

4 Апрель 2 5 4 14.6 19.2 0.1

Решение:

Пусть xt - количество дополнительно выпущенных автомобилей, а ht - объем хранения готовой продукции. Тогда спрос на автомобили определится следующим образом:

=...

Ограничения по спросу:

=...

Ограничения по мощности: 0?xt?Mt

0?x1?13, 0?x2?7, 0?x3?10, 0?x4?5

Ограничения по емкости склада: 0?ht?Et

0?h1?3, 0?h2?1, 0?h3?1, h4=0 (необходимо для минимизации затрат)

Определим затраты: ft - суммарные затраты на переналадку, производство и хранение продукции в месяце t:

=...

=...

=...

=...

Критерий эффективности:...

Решаем задачу методом динамического программирования

Январь

Спрос x1 h1 f1=5,2+17,3x1+0,4h1 ?1=f1(x1,h1)

9 11 2 196,3 196,3

12 3 214 214

Февраль

Спрос h1 x2 h2 f2=15+18x2+0,5h2 ?2=min{?1(x1,h1)+f2(x2,h2)}

=...

=...

Март

Спрос h2 x3 h3 f3=5,4+18,4x3+0,9h3 ?3=min{?2(h1,x2,h2)+f3(x3,h3)}

=...

=...

=...

=...

Апрель

Спрос h3 x4 f4=14,6+19,2x4 ?4=min{?3(x3,h3)+f4(x4,h4)}

=...

=...

Находим оптимальное решение:

1 решение: x4=1 h4=0

=...

=...

=...