Вариант 8. Составить экономико-математическую модель расчёта оптимальной годовой программы выпуска автомобилей

  • ID: 34495 
  • 34 страницы

Фрагмент работы:

Задача о производстве автомобилей

(задача 1)

Условие

№ Назва-ние цеха Количество ма-шин за год

типа А типа В

1 Кузов-ной 870 580

2 Шасси 600 1200

3 Мотор-ный 710 8520

4 Сбо-рочный 520 1560

Фирма по производству автомобилей выпускает модели типа А и В. Годовые производственные мощности цехов или отделов фирмы приведены в следующей таблице:

1. Составить экономико-математическую модель расчёта оптимальной годовой программы выпуска автомобилей.

2. Определить наиболее прибыльную для фирмы производственную программу, если расчётная прибыль от одной машины типа А составляет 8443,9 рублей, а прибыль от одной машины типа В составляет 8178,6 рублей.

3. Указать, насколько изменится максимум суммарной прибыли фирмы, если предположить, что годовая производительность цеха «сбор. цеха» окажется:

а) сниженной на 62,8%

б) увеличенной на 6,7%.

Решение:

1. Пусть х1- количество выпускаемых за год машин типа А

х2- количество выпускаемых за год машин типа В.

Временной ресурс на выпуск автомобилей А и В - один год. Представим расчет за-трат времени на каждый тип автомобиля в каждом цехе.

- норма расхода времени на один автомобиль типа А для работы в

кузовном цехе (в долях года);

- то же на автомобиль типа В;

- норма расхода времени на один автомобиль типа А для работы в

“шасси” (величина выражена в долях года);

- то же на автомобиль В.

Аналогично рассчитываются временные затраты по другим цехам.

Экономико-математическая модель расчета оптимальной годовой программы выпуска автомобилей.

2.Решим задачу графическим методом.

Рис.1.1. Графическое решение задачи о производстве автомобилей

3. С изменением производительности цеха «сбор. цех» изменится четвертое ограни-чение исходной модели.

Рис. 1.2. Графическое решение при уменьшении производительности цеха «сбор. цех»

Рис. 1.3. Графическое решение при увеличении производительности цеха «сбор. цех»

Задача о выборе оптимального ассортимента

(задача 3)

Условие

Производственная фирма может выпускать любые из четырех видов продукции. Техноло-гии их выпуска и рыночные цены продуктов в предстоящем временном периоде представлены в следующей таблице:

продукт 1 про-дукт 2

продукт 3 продукт 4

Объём ресурса

Сырьё (кг) 9 10 14 17 758

Труд (чел. -час) 18 16 10 9 816

Цена (руб.) 1080 1260 1020 945

Учитывая собственные запасы и поставки смежников, фирма предполагает иметь в предстоящем периоде сырье в объеме 758 кг. Трудовые ресурсы фирмы составят 816 чел. -час.

Требуется:

1. Составить экономико-математическую модель расчёта оптимального ассортимента на данный временной период, обеспечивающего максимум выручки после реализации выпущенной продукции.

2. Записать двойственную задачу и определить оптимальные двойственные оценки графическим способом.

3. Используя условия «дополняющей нежесткости», найти оптимальный ассортимент выпуска продукции.

4. Найти диапазон изменения трудовых ресурсов, при котором найденный ассортиментный набор продуктов сохраняется.

5. Установить насколько изменится выручка фирмы при сокращении трудовых ресурсов на 137 чел.-час. и росте на 198 чел.-час.

Решение

Рис.3.1. Графическое решение двойственной задачи

Используя свойства вектора-градиента, пропорционально уменьшим его компоненты: = (15,16; 16,32).

Область допустимых решений всей системы ограничений лежит вверху от ломаной линии, образованной прямыми (2), (3), (4) и осями координат и представляют собой бесконечный многоугольник AВCDE.

Точка минимума находится на пересечении 2 и 3 прямых.

Решив систему, получим оптимальное решение двойственной задачи:

Это решение задает оптимальные двойственные оценки (цены) ресурсов именно для этой фирмы, т.е. стоимость 1 кг сырья составит 30 руб., стоимость 1 чел.-час. трудо-ресурсов - 60 руб.

(u = 30 руб./кг, u = 60 руб./чел.-час).

Общая сумма затрат на ресурсы, использованные в данном производстве, составит 71700 руб.

3. Воспользуемся условиями «дополняющей нежесткости» для

определения.

Проведем анализ по первому условию «дополняющей нежесткости»:

х1(9u1+18u2 - 1080) = 0, подставим рассчитанные ранее значения u1= 30

u2= 60 в выражение, стоящее в скобках.

9 30 + 18 60 – 1080 = 270

Поскольку значение в скобках не равно 0, а произведение должно быть

равно 0 по условию, следовательно х1 = 0.

Аналогичны следующие рассуждения:

1) Проведем анализ по второму условию «дополняющей нежесткости»:

Поскольку u1 = 30, а произведение обязано по условию быть равным 0, следователь-но, выражение в скобках должно быть равно 0, т.е.

Аналогично рассуждая:

Выпишем систему уравнений:

Отсюда х2 = 31, х3 = 32.

Подставим полученные значения в выражение целевой функции:

На основании положений теории двойственности найдено оптимальное решение * = (0;31;32;0), а значит, оптимальным ассортиментом является выпуск продукта 2 и про-дукта 3.

4. Условия, для которых составлялась исходная модель задачи, неизбежно изменяют-ся в реальных условиях работы. Предлагается рассмотреть ситуацию, когда объем используемых ресурсов может изменяться:

увеличиваться на 198 чел.-час или уменьшаться на 137 чел.-час. Исследовать влия-ние этих изменений трудоресурса на выручку фирмы, учитывая, что нужно выпускать второй и третий виды продукции, а первый и четвертый виды продукции при этом не выпускать.

Ограничение по трудоресурсу преобразуется и будет иметь следующий вид:

10х2 + 14х3  816 + t, где параметр t > 0 означает рост объема трудоресурса

а t < 0 – уменьшение.

Тогда целевая функция двойственной задачи примет вид:

W = 758U1 + (816 + t) U2 min.

Очевидно, следует найти сначала диапазон изменения трудоресурса, в котором ас-сортиментный выпуск продукции сохраняется (х2 > 0, х3 > 0)

а) Увеличение трудоресурсов, t > 0.

Если увеличивать параметр t, вектор – градиент будет поворачиваться против ча-совой стрелки и «прижиматься» к оси u2, т.к. коэффициент при u1 остается постоян-ным, а коэффициент при u2 – возрастает с увеличением параметра t.

Линия уровня функции W с ростом параметра t тоже поворачивается. Незначительные перемещения её обычно не приводят к изменению оптимальной точки (для нашей задачи (.) D, где пересекаются прямые (2) и (3)).

Однако в результате более значительных изменений угла наклона линии уровня мо-жет появиться новая оптимальная точка. Для нашей задачи ею станет (.) E на пересе-чении прямой 2 и прямой u2 = 0.

Определим оптимальное решение:

(.) E

u1 = 126 u2 = 0

Изменились значения двойственных оценок, а значит изменился ассортимент выпус-каемой продукции, что не должно быть.

Определим промежуток значений параметра t, для которых (.) D является оптималь-ной, а значит сохранится решение u1 = 30, u2 = 60 и, следовательно, х2 > 0, х3 > 0.

Возьмем линию уровня вида 758u1+(816+t)u2 = h

Граничным положением линии уровня (т.е. моментом, когда произойдет смена реше-ния) будет положение, когда она станет параллельной прямой (2), т.е. 10u1+ 16u2 = 1260.

По условию параллельности коэффициенты в уравнении линии уровня и прямой (2) станут пропорциональными, т.е.

откуда найдем значение t = 396,8.

Определим верхнюю границу интервала изменения трудоресурсов:

816+396,8=1212,8

Итак, при увеличении объема трудоресурсов до 1212,8 чел.-час. ассортимент выпускаемой продукции, включенный в оптимальный план, сохранится. Это значит, что будет выпускаться продукция вида 2 и вида 3, однако следует заметить, что количество выпускаемой продукции вида 2 и вида 3 будет изменяться (увеличиваться).

б). Уменьшение трудоресурсов t 0 и x2* > 0 и бюджетное ограничение выходит на равенство (так как цены и доход строго положительны).

Решим данную задачу методом множителей Лагранжа. Для этого строим функцию Лагран-жа:

где λ – множитель Лагранжа при бюджетном ограничении.

Запишем условия для решения задачи Лагранжа:

Из первых двух условий системы, получим:

что соответствует второму закону Госсена для потребления: оптимальным для потребителя будет являться такой выбор, при котором рост расходов на 1 руб. на приобретение любого блага будет приводить к одинаковому росту получаемой полезности.

Отсюда получаем:

Так как λ >0, то можем сделать вывод, что бюджетное ограничение действительно выполня-ется как равенство:

6x1+6x2=162

Учитывая, что, получаем:

х1* = 13,5 ед.

х2* = 13,5 ед.

Уравнение кривой безразличия, соответствующее оптимальному набору, имеет следующий вид:

ютилей, что эквивалентно уравнению гипер-болы:

Предельная полезность денег (MUI = ) показывает, насколько увеличится получаемая потребителем полезность, если увеличить его доход на 1 руб. Это определение соответствует со-держательному смыслу множителя Лагранжа по бюджетному ограничению (λ). Таким образом, предельная полезность денег составляет 0,118, что означает, что при увеличении дохода потребите-ля на 1 руб., получаемая им полезность увеличится на 0,118 ютиля.

Предельная норма замещения первого блага вторым находится из формулы:

это означает, что в точке оптимума, для сохранения того же уровня полезности при уменьшении потребления первого блага на единицу, потребителю потребуется уве-личить потребление второго блага также на 1 единицу.

Графическое решение данной задачи представлено на следующем рисунке.

Как видно из рисунка, графически условие оптимальности выбора потребителя выглядит как условие касания кривой безразличия бюджетной линии.

1.3. Построение функций спроса, анализ поведения потребителя при изменении параметров спроса

1.3а) Построим функцию спроса потребителя на первое благо.

В данном случае мы должны учитывать цены на первое и второе благо в качестве парамет-ров модели поведения потребителя:

Запишем функцию Лагранжа для данной задачи:

где λ – множитель Лагранжа при бюджетном огра-ничении.

Запишем условия для решения задачи Лагранжа:

Таким образом, при данных предпочтениях оптимальным для потребителя будет расходовать на приобретение каждого из благ одинаковую сумму денег:. Учитывая, что бюджетное ограничение выполняется в точке оптимума как равенство, получаем:

Функция спроса на первое благо представлена на следующем рисунке.

Аналогично:

Определим далее некоторые характеристики спроса потребителя на первое благо.

Прямая эластичность спроса на первое благо по его цене:

Это означает, что при увеличении цены первого блага на 1% потребитель будет сокращать свой спрос на него на 1%, то есть таким образом, чтобы сумма расходов на первое благо оставалась неизменной при неизменном доходе.

Перекрестная эластичность спроса на первое благо по цене второго равна:

Это означает, что как бы не изменялась цена на второе благо, потребитель не изменит свой спрос на первое.

1.3б) Исследуем, как изменится поведение потребителя при изменении его дохода.

Для этого обратимся к аппарату кривых безразличия. Построим для начала кривую Доход-потребление. Кривая Доход-потребление отражает оптимальные для потребителя наборы благ при предположении, что доход потребителя изменяется, а цены благ остаются неизменными. На графи-ке это означает, что кривая Доход-потребление включает все точки касания произвольные кривых безразличия и бюджетных линий, построенных при произвольном уровне дохода и неизменных ценах.

Найдем уравнение, описывающее кривую Доход-потребление.

Для этого мы должны рассмотреть следующую задачу:

Запишем функцию Лагранжа для данной задачи:

где λ – множитель Лагранжа при бюджетном ограничении.

Запишем условия для решения задачи Лагранжа:

Таким образом, оптимальным для потребителя будет покупать при данных ценах блага в следующем соотношении:

- эта зависимость описывает кривую Доход-потребление.

Учитывая, что бюджетное ограничение потребителя в точке оптимума выходит на равенство, получим

Данные функции, описывающие зависимость между уровнем дохода потребителя и опти-мальным объемом потребления благ отображают кривые Энгеля.

Воспользуемся данными функциями и определим, что произойдет с объемами потребления первого и второго благ при увеличении дохода потребителя на 40%:

Таким образом, при росте дохода на 40%, произойдет эквивалентное увеличение объемов потребления первого и второго блага на 40%.

1.4. Анализ воздействия эффектов дохода и замены на выбор потребителя.

1.4а) Определим изменение полезности, получаемой потребителем, в результате изменения цен.

Цена второго блага снизилась на 60%. Определим новую цену:

Р*2 = (1-0,25)∙ Р2 = (1-0,6)∙6 = 2,4

Цена первого блага осталась неизменной:

Р*1 = Р1 = 6.

Подставив данные цены в функции спроса, найдем, какой объем потребления будет опти-мальным при новой цене, и как изменилось благосостояния потребителя.

Изменение благосостояния при этом составило:

ютилей

(U* = 13,5 – базовый уровень полезности)

Таким образом, после снижения цены второго блага на 60%, потребитель не изменил по-требление первого блага и увеличил потребление второго блага на 20,25 ед., в результате чего его благосостояние выросло на 7,845 ютилей.

1.4б) Определение эффектов замены и дохода.

Для определения эффектов замены и дохода воспользуемся рисунком

До изменения цен оптимальным выбором потребителя являлся набор А {13,5 ед. первого блага, 13,5 ед. второго блага}.

Уменьшение цены второго блага приводит к развороту бюджетной линии потребителя по часовой стрелке относительно точки ее пересечения с осью Ох1. Увеличение относительного дохода потребителя позволяет ему выйти на более высокий уровень потребления – он выбирает набор В {13,5 ед. первого блага, 33,75 ед. второго блага}, получая полезность в 21,345 ютилей.

Таким образом, общий эффект от изменения цен состоит в изменении оптимального набора с А на В.

Разложим общий эффект на эффект замены и дохода. Для этого необходимо определить ко-ординаты точки С - точки, в которой наклон исходной кривой безразличия будет равен наклону новой бюджетной линии.

Уравнение исходной кривой безразличия имеет вид:

Тангенс угла наклона бюджетной линии после изменения цены составил:

Приравнивая найденные значения получим координаты точки С:

Эффект замены состоит в увеличении потребления блага, ставшего относительно более де-шевым. Для его нахождения мы определили, какой набор давал бы потребителю начальный уровень полезности при новых ценах – это набор С (8,358; 21,345).

Следовательно, эффект замены заключается в сокращении потребления первого блага на 4,962 ед. (8,538 – 13,5) и в увеличении потребления второго блага на 7,845 ед. (21,345 – 13,5).

Эффект дохода вызван изменением реальной потребительской способности индивида в связи с изменением относительного уровня цен. На графике этот эффект отображается переходом из т. С в т. В: потребление первого блага выросло на 4,962 ед. (13,5 – 8,538), второго блага – на 12,405 ед. (33,75 – 21,345). Как видим эффект дохода в отличие от эффекта замены связан с изменением благосостояния потребителя.

1.5. Оценка объемов компенсации снижения благосостояния в связи с ростом цен

Рост цены первого блага на 45% приводит к изменению оптимального потребительского набора и получаемой потребителем полезности.

Эквивалентное изменение дохода (EV) показывает, насколько должен измениться доход по-требителя, чтобы при старых ценах получить такой же уровень полезности, как при новых ценах. Найдем такие хЕ1, хЕ2 и EV, при которых потребитель получил бы полезность 12,589 при старых ценах Р1 = 6, Р2 = 6. То есть мы должны решить следующую задачу:

Компенсирующее изменение дохода (CV) показывает, насколько должен измениться доход потребителя, чтобы при новых ценах получить такой же уровень полезности, как при старых ценах. Найдем такие хC1, хC2 и СV, при которых потребитель получил бы старый уровень полезности 13,5 при новых ценах Р1 = 6,9, Р2 = 6. То есть мы должны решить следующую задачу:

Поясним полученные результаты.

EV = -10,934 означает, что повышение цены первого блага на 15% эквивалентно изъятию из его бюджета 10,934 руб.

CV = 11,726 означает, что для того чтобы благосостояние потребителя не ухудшилось при повышении цены первого блага на 15%, его доход должен быть увеличен на 11,726 руб. Или, дру-гими словами, рост цен будет полностью компенсирован потребителю при увеличении его дохода на 11,726 руб.

Задача №2

1. Экономико-математическая модель задачи:

В данном случае

2. Для решения данной задачи воспользуемся методом множителей Лагранжа.

Рассмотрим вспомогательную функцию (L;K;)=55L0,7K0,3+(35-4L-3K)

Найдем частные производные этой функции по каждому из параметров:

=30-2L-3K=0

Тогда

Это соотношение показывает, что при неизменных затратах на приобретение ресурсов при объеме финансов С=30 максимального объема выпускаемой продукции можно добиться, если ис-пользовать на 4 ст.-час. 7 чел.-часа рабочего времени.

Определим оптимальную потребность производственных ресурсов в зависимости от Q.

Т.к., то

Найдем требуемый объем авансированного капитала для производства Q единиц продукции:

3. Определим :

Т.к., то выполняется финансовое равенство: 4L+3K=35:

ед.

Проверка:

Проиллюстрируем решение на графике

Точкой оптимума является точка касания самой высокой изокванты с линией бюджетного ограничения.

Определим предельную норму технологического замещения оборудования рабочей силой:

Эта величина показывает, что затраты рабочей силы нужно увеличить на 0,75 единицы, чтобы при уменьшении затрат оборудования на одну единицу объем выпуска продукции остался на преж-нем уровне.

Определим предельную норму технологического замещения рабочей силы оборудованием:

Эта величина показывает, что затраты на оборудование нужно увеличить на 1,333 единицы, чтобы при уменьшении затрат рабочей силы на одну единицу объем выпуска продукции остался на прежнем уровне.

Определим показатели предельной эффективности используемых производственных ресурсов:

Определим предельную эффективность финансовых ресурсов:

Эта величина показывает, что при увеличении объема капитала на 1 денежную единицу про-изводительность увеличится на 8,137 единиц.

Задача 3. Оптимальный вариант покупки оборудования. Чтобы расширить свое производ-ство, фирма собирается установить дополнительное оборудование. Для этого выделяется С млн. руб. и S м2 производственной площади. Имеется возможность купить станки двух типов А и В. Ста-нок типа А стоит c1 млн. руб., занимает площадь, равную s1 м2, и имеет производительность p1 тыс. единиц продукции за смену. Станок типа В стоит c2 млн. руб., занимает площадь, равную s2 м2, и имеет производительность p2 тыс. единиц продукции.

Нужно найти оптимальный вариант покупки оборудования, обеспечивающий максимальное увеличение выпуска продукции.

Исходные значения параметров представлены в таблице:

C S s1 c1 p1 s 2 c2 p2

12 38 2 5 45 1 4 35

Требуется:

1) составить математическую модель задачи о покупке оборудования, учитывающую целочисленность ее решений;

2) найти оптимальный вариант покупки графическим методом;

3) найти оптимальный вариант покупки методом «ветвей и границ».

Решение.

1. Построение математической модели

В рассматриваемой задаче следует определить

х1 — закупленное число станков типа А

х2 — закупленное число станков типа В.

Эти величины являются переменными модели. Они должны принимать целочисленные неот-рицательные значения, причем должны выполняться два условия (ресурсные ограничения):

2х1 + х2 ≤ 12 (ограничение по финансам)

5х1 + 4х2 ≤ 38 (ограничение по площади).

Целевая функция Z = 45х1 + 35х2 — суммарная производительность приобретенного оборудо-вания, равная общему числу выпущенных единиц продукции за смену (в тыс. единиц).

Следовательно, математическая модель задачи о покупке оборудования может быть записана в таком виде: найти неизвестные значения переменных х1 и х2, доставляющие максимальное значе-ние ЦФ

Z = 45х1 + 35х2 → mах

и удовлетворяющие ограничениям

2х1 + х2 ≤ 12

5х1 + 4х2 ≤ 38

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0

х1 и х2 — целые числа.

Так как ЦФ и все ограничения линейны, а переменные должны принимать только целочис-ленные значения, то задача фирмы является задачей ЦЛП.

2. Нахождение решения задачи графическим методом

Поскольку задача содержит всего две переменных, ее можно решить графическим методом. Для этого нужно выполнить следующие действия.

1. Построить множество допустимых решений задачи без учета условия целочисленности и от-метить в нем все целочисленные точки.

2. С помощью линий уровня найти оптимальную целочисленную точку, в которой ЦФ достигает своего максимума.

Перемещение линии уровня целевой функции Z в направлении, задаваемом ее градиентом, показывает, что наибольшее значение Z* = 335 она примет в точке х* = (2, 7).

Следовательно, фирме следует купить 2 станка типа А и 7 станков типа B. Это обеспечит уве-личение выпуска продукции на 335 тыс. изделий.

3. Решение задачи методом ветвей и границ

Сначала решим задачу о покупке без учета условия целочисленности перемен-ных, т.е. как задачу линейного программирования следующего вида.

Задача 1

Z = 45х1 + 35х2 → mах

2х1 + х2 ≤ 12

5х1 + 4х2 ≤ 38

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0.

Решим эту задачу графическим методом. Из предыдущего рисунка видно, что ее ОДР пред-ставляет собой четырехугольник, а оптимальное решение является точкой пересечения граничных прямых ресурсных ограничений. Значит, его можно найти, решив систему уравнений:

2х1 + х2 = 12

5х1 + 4х2 = 38.

Ее решение: х1 = 3,3; х2 = 5,3. Таким образом, найдена точка оптимума х1 = (3,3; 5,3), которой соответствует оптимальное значение ЦФ = Z(х1) = 336,7. Координаты точки х1 не является целыми числами, поэтому решение не является допустимым в задаче ЦЛП.

Так как оптимальное значение переменной х2 оказалось нецелочисленным, то для продолже-ния решения нужно разбить задачу 1 на две подзадачи: задачу 2 и задачу 3. В первой из них к усло-виям задачи 1 добавляется условие х2 ≥ 5, а во второй — условие х2 ≤ 4.

Задача 2 Задача 3

Z = 45х1 + 35х2 → mах

2х1 + х2 ≤ 12

5х1 + 4х2 ≤ 38

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0

х2 ≥ 6. Z = 45х1 + 35х2 → mах

2х1 + х2 ≤ 12

5х1 + 4х2 ≤ 38

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0

х2 ≤ 5.

Решим графически задачу 2 как задачу ЛП. Ее ОДР представляет собой треугольник, а опти-мальное решение задачи можно найти из системы

х2 = 6

5х1 + 4х2 = 38.

Ее решение: х2 = (2,8; 6), а оптимальное значение = Z(x2) = 336.

ОДР задачи 3 представляет собой трапецию, а для нахождения точки оптимума следует ре-шить систему

х2 = 5

2х1 + х2 = 12.

Ее решение: х3 = (3,5; 5), а оптимальное значение = Z(x3) = 332,5.

Так как задача 2 имеет нецелочисленное решение, то ее нужно разбить на две подзадачи, осу-ществив ветвление по нецелочисленной компоненте х1. Для этого в одну из подзадач (задача 4) вводится дополнительное ограничение х1 ≥ 4, а в другую подзадачу (задача 5) — ограничение х1 ≤ 3.

Задача 4 Задача 5

Z = 45х1 + 35х2 → mах

2х1 + х2 ≤ 12

5х1 + 4х2 ≤ 38

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0

х1 ≥ 3, х2 ≥ 6. Z = 45х1 + 35х2 → mах

2х1 + х2 ≤ 12

5х1 + 4х2 ≤ 38

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0

х1 ≤ 2, х2 ≥ 6.

Задача 4 не имеет допустимых решений. Действительно, так как х1 ≥ 3 и х2 ≥ 6, то 5х1+ 4х2 ≥ 39, что противоречит второму неравенству. Таким образом, система неравенств этой задачи несовместна.

ОДР задачи 5 является трапецией. Оптимальное решение этой задачи можно найти, решив систему:

х1 = 2

5х1 + 4х2 = 38.

Ее решение: х5 = (2; 7), а оптимальное значение = Z(x5) = 335. Так как найденная точка является первым целочисленным решением, то ее и соответствующее ей значение ЦФ следует за-помнить. Сама точка называется текущим целочисленным рекордом или просто рекордом, а опти-мальное значение целочисленной задачи — текущим значением рекорда. Это значение является нижней границей оптимального значения исходной задачи Z*.

Нерешенных задач не осталось; следовательно, последний сохраненный рекорд является оп-тимальным решением исходной задачи.

Приведем графическую схему хода решения задачи фирмы. В результате последовательного ветвления получено дерево решения:

Итак, получен следующий результат: фирма должна купить 2 станка типа A и 7 станков типа В. Это позволит ей увеличить выпуск продукции на 335 тыс. изделий.

Задача 4. Оптимальное использование капитала на приобретение объектов лизинга

Лизинговая компания располагает капиталом в размере 70 млн. руб., предназначенным для приобретения объектов, передаваемых лизингополучателям по договорам лизинга. Предваритель-ный анализ потребностей лизингополучателей позволил выделить три типа объектов, пользующих-ся наибольшим спросом:

объект 1 — оборудование для производства мебели;

объект 2 — оборудование для производства тетрапаков;

объект 3 — токарные станки-полуавтоматы.

Лизинговой компании известны оценки ожидаемой доходности от передачи объектов лизин-гополучателям, которая зависит от стоимости объекта. Информация об ожидаемом годовом доходе компании по всем трем объектам при всех возможных вариантах стоимости этих объектов приведена в следующей таблице.

Стоимость

объекта

(млн. руб.) Ожидаемый годовой доход от передачи объектов лизингополучателям (млн. руб.)

Объект №1 Объект №2 Объект №3

0 0 0 0

10 1,5 3,25 3

20 2,9 6,3 5,7

30 4,2 9,15 8,1

40 5,4 11,8 10,2

50 6,5 14,25 12

60 7,5 16,5 13,5

70 8,4 18,55 14,7

Задача лизинговой компании заключается в том, чтобы определить, какие объекты и на какую сумму следует приобрести, чтобы обеспечить получение максимального суммарного дохода от пе-редачи этих объектов лизингополучателям.

Требуется:

1) построить математическую модель оптимального использования имеющегося капитала на приобретение объектов лизинга и записать её в форме задачи динамического программирова-ния;

2) найти оптимальное распределение капитала на приобретение объектов лизинга, обеспечива-ющее получение максимального суммарного дохода компании;

3) определить оптимальное распределение капитала на приобретение объектов лизинга в случае возникновения потребности лизингополучателей в объекте 4, стоимостные характеристики которого приведены в таблице.

Стоимость объекта №4

(млн. руб.)

0

10

20

30

40

50

60

70

Годовой доход компании от переда-чи объекта №4 лизинго-получателям (млн. руб.) 0 2,75 5,1 7,05 8,6 9,75 10,5 10,85

1. Построим математическую модель оптимизации использования имеющегося капитала на приобретение объектов лизинга и запишем её в форме задачи динамического программирования:

Пусть Хi- сумма предоставленная компанией для преобретения i-ого объекта, млн. руб.

i(Xi)-ожидаемая прибыль компании от i-ого объекта, в сумме на его приобретение в Хi млн.руб.

Задача состоит в таком распределении капитала между объектами, которое удовлетворяет условиям:

М.М. Х1+Х2+Х3+Х4=70

Хi=0,10,…..,70; i=1,2,3,4

Z=1(Х1)+ 2(Х2)+ 3(Х3)+ 4(Х4)MAX

2. Найдём оптимальное распределение капитала в 70 млн. руб. на приобретение объектов ли-зинга, обеспечивающего получение максимального суммарного дохода компании:

Рассмотрим сначала первый объект и предоставление компанией капитала для его приобрете-ния.

Пусть f1(S)=max1(Х1)=1(S) (1)

Х1=0,…,S

f1(S) - максимальная ожидаемая прибыль компании от приобретения 1-ого объекта за S млн. руб.

Пусть теперь S млн. руб. распределяется компанией между двумя объектами:

Х2 – сумма, выданная на объект 2;

S-X2 – сумма, выданная на объект 1;

f2(S) – максимальная прибыль компании от первых двух объектов при распределении S млн. руб.

f2(S)=max(2(Х2)+f1(S-X2)) (2)

При распределении S млн. руб. между тремя объектами, f3(S) – максимальная прибыль, кото-рая может быть получена в этом случае:

f(3)=max(3(Х3)+f2(S-X2)) (3)

Х3=0,….S

Задачи (1)-(3) решаем последовательно. Результаты Хi(S) и fi(S) записываем в итоговую таб-лицу №1.

Таблица№1

Объём инве-стиций К=1 К=2 К=3 K=4

Х1(S) 1(S) X2(S) 2(S) X3(S) 3(S) X4(S) 4(S)

0 0 0 0 0 0 0

10 10 1,5 10 3,25 0 3,25

20 20 2,9 20 6,3 0 6,3

30 30 4,2 30 9,15 10 9,3

40 40 5,4 40 11,8 10 12,15

50 50 6,5 50 14,25 20 14,85

60 60 7,5 60 16,5 20 17,5

70 70 8,4 70 18,55 20 19,95 10 20,25

Таблица 2

S X2 2(X2) f1(S-X2) 2(X2)+f1(S-X2) f2(S)

0 0 0 0 0 0

10 0 0 1,5 1,5

10 3,25 0 3,25 3,25

20 0 0 2,9 2,9

10 3,25 1,5 4,75

20 6,3 0 6,3 6,3

30 0 0 4,2 4,2

10 3,25 2,9 6,15

20 6,3 1,5 7,8

30 9,15 0 9,15 9,15

40 0 0 5,4 5,4

10 3,25 4,2 7,45

20 6,3 2,9 9,2

30 9,15 1,5 10,65

40 11,8 0 11,8 11,8

50 0 0 6,5 6,5

10 3,25 5,4 8,65

20 6,3 4,2 10,5

30 9,15 2,9 12,05

40 11,8 1,5 13,3

50 14,25 0 14,25 14,25

60 0 0 7,5 7,5

10 3,25 6,5 9,75

20 6,3 5,4 11,7

30 9,15 4,2 13,35

40 11,8 2,9 14,7

50 14,25 1,5 15,75

60 16,5 0 16,5 16,5

70 0 0 8,4 8,4

10 3,25 7,5 10,75

20 6,3 6,5 12,8

30 9,15 5,4 14,55

40 11,8 4,2 16

50 14,25 2,9 17,15

60 16,5 1,5 18

70 18,55 0 18,55 18,55

Таблица 3

S X3 3(X3) f2(S-X3) 3(X3)+f2(S-X3) f3(S)

0 0 0 0 0 0

10 0 0 3,25 3,25 3,25

10 3 0 3

20 0 0 6,3 6,3 6,3

10 3 3,25 6,25

20 5,7 0 5,7

30 0 0 9,15 9,15

10 3 6,3 9,3 9,3

20 5,7 3,25 8,95

30 8,1 0 8,1

40 0 0 11,8 11,8

10 3 9,15 12,15 12,15

20 5,7 6,3 12

30 8,1 3,25 11,35

40 10,2 0 10,2

50 0 0 14,25 14,25

10 3 11,8 14,8

20 5,7 9,15 14,85 14,85

30 8,1 6,3 14,4

40 10,2 3,25 13,45

50 12 0 12

60 0 0 16,5 16,5

10 3 14,25 17,25

20 5,7 11,8 17,5 17,5

30 8,1 9,15 17,25

40 10,2 6,3 16,5

50 12 3,25 15,25

60 13,5 0 13,5

70 0 0 18,55 18,55

10 3 16,5 19,5

20 5,7 14,25 19,95 19,95

30 8,1 11,8 19,9

40 10,2 9,15 19,35

50 12 6,3 18,3

60 13,5 3,25 16,75

70 14,7 0 14,7

После заполнения столбца К=3 итоговой таблицы №1 обратным ходом находим оптимальное решение X*=( ; ; )

Величина прибыли Z*=f3(70)=19,95 млн. руб.

Эта прибыль получается в следующем случае:

=X3(70)=20 млн. руб., остаток 70-20=50 млн. руб.

=X2(50)=50 млн. руб., остаток 50-50=0 млн. руб.

=X1(0)=0 млн. руб., остаток 0-0=0 млн. руб.

X*=(0;50;20)

Проверка: Z*=1(0)+2(50)+3(20)=0+14,25+5,7=19,95 млн. руб.

3. Определим оптимальное распределение капитала в 70 млн. руб. на приобретение объектов лизинга в случае возникновения потребностей лизингополучателей в объекте №4.

Найдем значение функции f4(S) при S=70 млн. руб. В таблице №4 приведены расчеты по фор-муле f4(70)=max(4(X4)+f3(70-X4))

Таблица 4

X4 4(X4) f3(70-X4) 4(X4)+f3(70-X4) f4(70)

0 0 19,95 19,95

10 2,75 17,5 20,25 20,25

20 5,1 14,85 19,95

30 7,05 12,15 19,2

40 8,6 9,3 17,9

50 9,75 6,3 16,05

60 10,5 3,25 13,75

70 10,85 0 10,85

Максимальная прибыль от 4 объектов Z*=f4(70)=20,25 млн. руб.

=X4(70)=10 млн. руб., остаток 70-10=60 млн. руб.

=X3(60)=20 млн. руб., остаток 60-20=40 млн. руб.

=X2(40)=40 млн. руб., остаток 40-40=0 млн. руб.

=X1(0)=0 млн. руб., остаток 0-0=0 млн. руб.

X*=(0;40;20;10)

Проверка: Z*=1(0)+2(40)+3(20)+4(10)=0+11,8+5,7+2,75=20,25 млн. руб.

Результаты распределения 70 млн. руб. в случае приобретения

3-х объектов лизинга

Прибыль компании Z*=19,95 млн. руб.

Распределение суммы X*=(0;50;20) млн. руб.

4-х объектов лизинга

Прибыль компании Z*=20,25 млн. руб.

Распределение суммы X*=(0;40;20;10) млн. руб.

Сетевое планирование и управление

С учетом технологической последовательности работ построим сетевой график выполнения этих работ:

Прямоугольниками на сетевом графике обозначены события; в прямоугольниках сверху запи-сан номер события, в левой части прямоугольника находится раннее, а в правой части – позднее время выполнения работ. Стрелками обозначены работы. Жирными стрелками обозначены работы, принадлежащие критическому пути. Над стрелочками написано имя работы, а в скобках - нормаль-ный срок выполнения работы

2. Рассчитаем временные характеристики сетевого графика при нормальном режиме выполнения работ. Найдем критический путь и его продолжительность, укажем все возможные критические пути и определим стоимость всего комплекса работ.

Рассчитаем раннее время выполнения работ:

Тр1=0 дн.

Тр2=Тр1+t12=0+4=4 дн.

Тр3=Тр2+t23=4+4=8 дн.

Тр4=Тр2+t24=4+8=12 дн.

Тр5=max[Тр1+t15;Тр2+t25;Тр3+t35;Тр4+t45]=max[0+19;4+18;8+8;12+4]=22 дн.

Тр6=max[Тр3+t36;Тр4+t46;Тр5+t56]=max[8+12;12+8;22+4]=26 дн.

Итак, раннее время конечного события графика равно Тр(кр.)=Тр6=26 дней, т.е. раньше чем через 26 дней строительство торгового павильона завершено быть не может.

Обратным ходом находим критический путь (пути) Lкр.:

Lкр.1={V;Q;D}

Определим стоимость строительства торгового павильона при нормальном режиме выполне-ния работ:

Sнорм.=5,2+9,6+79,2+20,4+6+3,6+2,2+5,6+70,2+24=226 млн. руб.

Рассчитаем позднее время выполнения работ:

Тп6=Тр6=26 дн.

Тп5=Тр6-t56=26-4=22 дн.

Тп4=min[Тп5-t45;Тп6-t46]=min[22-4;26-8]=18 дн.

Тп3=min[Тп5-t35;Тп6-t36]=min[22-8;26-12]=14 дн.

Тп2=min[Тп3-t23;Тп4-t24;Тп5-t25]=min[14-4;18-8;22-18]=4 дн.

Тп1=Тр1=0 дн.

3. Укажем стратегию минимального удорожания комплекса работ при сокращении сроков строительства на 4 дня, и в какую итоговую сумму обойдётся фирме ускоренная стройка павильона:

Рассчитаем затраты на ускорение строительства и предельно-возможное уменьшение дли-тельности в днях в таблице:

Работа A B C D E F G H Q V

tнорм.-tср 4 6 11 2 4 2 2 4 12 2

,(млн.руб.) 1,3 1,6 9,9 10,2 1,5 1,8 1,1 1,4 11,7 12

где  = норма платы за ускорение за каждый день.

Критический срок будем сокращать последовательно по одному дню за счёт ускорения критических работ. В данном случае это будет работа D.

Шаг первый:

Результаты ускорения:

Ускоряемая работа: D

Новая длительность: 3 дня

Критические пути со временем завершения работ за 25 дней

Lкр.1={V;Q;D}

Суммарная стоимость: 236,2 млн. руб.

Шаг второй:

Результаты ускорения:

Ускоряемая работа: D

Новая длительность: 2 дня

Критические пути со временем завершения работ за 24 дня

Lкр.1={V;Q;D}

Суммарная стоимость: 246,4 млн. руб.

Шаг третий:

Результаты ускорения:

Ускоряемая работа: Q

Новая длительность: 17 дней

Критические пути со временем завершения работ за 23 дня

Lкр.1={V;Q;D}

Суммарная стоимость: 258,1 млн. руб.

Шаг четвёртый:

Результаты ускорения:

Ускоряемые работы: Q

Новая длительность: 16 дней

Критические пути со временем завершения работ за 22 дня

Lкр.1={V;Q;D}

Суммарная стоимость: 269,8 млн. руб.

Результаты проведенного анализа:

Нормальный режим

Критическое время завершения строи-тельства: 26 дней

Критический путь: Lкр.1={V;Q;D}

Суммарная стоимость: 226 млн. руб.

Директивный срок

Критическое время завершения строи-тельства: 22 дня

Критические пути:

Lкр.1={V;Q;D}

Суммарная стоимость: 269,8 млн. руб.