Найти стратегию рационального использования свободных денежных средств, имеющихся на текущем счете фирмы

  • ID: 02819 
  • 24 страницы

Фрагмент работы:

Найти стратегию рационального использования свободных денежных сре…

Задача 1.

Найти стратегию рационального использования свободных денежных средств, имеющихся на текущем счете фирмы, путем оформления депозитов под разные проценты на возможные сроки. Оформление депозитов не должно превышать прогнозируемый на три предстоящих месяца график ежемесячных расходов и приходов фирмы и требование иметь на счете необходимый резерв средств.

Депозиты можно оформлять с погашением не позднее начала 4?го месяца на сроки: один, два, три месяца, соответственно, под 1%, 2,5%, 3,5%. Оформление 2?х месячного депозита, начиная со второго месяца, пока не предлагается. В нижеследующей таблице приведен пример возможной стратегии оформления депозитов в течении рассматриваемого трехмесячного промежутка времени.

Фирма заинтересована в нахождении такой допустимой стратегии оформления депозитов, при которой суммарный доход от процентов на выданные депозиты составит максимальную величину.

Требуется:

1) Формализовать задачу управления, представив в виде ЭММ, упростить и представить графики.

2) Установить, будет ли оптимальной приведенная в таблице, стратегия управления свободным оборотным капиталом фирмы. Если нет, то найти такую стратегию и оптимальные двойственные оценки ограничений. Дать экономическую интерпретацию двойственных оценок.

Таблица 1.1.

Допустимая стратегия управления оборотным капиталом фирмы (тыс. руб.)

Начальная сумма 1 месяц 2 месяц 3 месяц конец Суммарный доход

по проц.

205 90 90 90

Погашенные вклады 0 70 140.7 89.66

Доход по процентам 0 0,7 1.41 0.9 3

1?месячный депозит 70 140.7 89.66

2?месячный депозит 0 0 0

3?месячный депозит 0 0 0

Расходы/(?) приходы 45 -70 52.45

Необходимый резерв 90 90 90

Решение:

I. Построим экономико-математическую модель.

1) Введем обозначения:

? размер одномесячного депозита, оформленного в первом месяце

? размер одномесячного депозита, оформленного во втором месяце

? размер одномесячного депозита, оформленного в третьем месяце

? размер двухмесячного депозита, оформленного в первом месяце

? размер трехмесячного депозита, оформленного в первом месяце

2) составим ограничения (баланс приходов или расходов фирмы по каждому месяцу):

1?й месяц:...

2?й месяц:...

3?й месяц:...

3) нормализуем балансовые уравнения

4) критерий эффективности:

Для подготовки к построению симплекс-таблицы:

1) составим двойственную задачу:

2) введем дополнительные балансовые переменные:

3) введем балансовые переменные для двойственной задачи:

II. Найдем решение, используя алгоритм симплекс-метода.

1) Строим исходную симплекс-таблицу:

=

=

=

=

=

=

1

=...

=...

=...

=...

2) Избавляемся от ограничений ? равенств.

Первый шаг: Выбираем разрешающую строку ? первая строка (на первом шаге можно выбрать любую строку), разрешающий столбец ? пятый (где больше нулевых элементов). Вычеркиваем пятый столбец

=

=

=

=

=

0...=

1

=...

=...

=...

=...

Второй шаг: Выбираем разрешающую строку ? третья строка, разрешающий столбец ? третий. Вычеркиваем пятый столбец

=

=

=...

=

1

=...

=...

=...

=...

Третий шаг: Разрешающая строка ? вторая, разрешающий столбец ? второй. Вычеркиваем третий столбец

=

=

0...=

=

1

=...

=...

=...

=...

3) найдем оптимальное решение двойственным симплекс-методом.

Разрешающий столбец ? второй, разрешающая строка - первая

=

=

=

1

=...

=...

=...

=...

Так как все элементы Z?строки и столбца свободных членов положительны, получено оптимальное решение:

Двойственные оценки...представляют собой предельные эффективности от оформления депозита. Двойственная переменная показывает, на сколько измениться целевая функция при изменении суммы депозита на единицу. При этом максимальный суммарный доход в целом равен 3,35 тыс. руб., что существенно выше заданного дохода по процентам (3).

Таким образом, максимальный суммарный доход по депозитам равен 3,35 тыс. руб.

Стратегия управления свободным оборотным капиталом фирмы:

=0? одномесячного депозита в первом месяце не оформляется

=70 ?одномесячный депозит во втором месяце в размере 70 тыс. руб

=19,5 ? одномесячного депозит в третьем месяце в размере 90 тыс. руб.

=0 ? двухмесячного депозит в первом месяце не оформляется

=70 ? трехмесячного депозит в первом месяце в размере 70 тыс. руб.

Задача №2

Для полного удовлетворения еженедельного спроса на продукцию фирмы в пунктах В1 и В2 в объемах 180 единиц и 140 единиц администрация фирмы рассматривает четыре возможных проекта создания дополнительных производственных филиалов в пунктах А1, А2, А3 и А4. Проектируемые еженедельные мощности, расчетные себестоимости единиц продукции и ожидаемые транспортные расходы на доставку единицы продукции от созданного филиала названным потребителям приведены в нижеследующей таблице.

Необходимо определить, какие из проектируемых филиалов следует создать и какие грузопотоки от них направить названным потребителям, чтобы при полном удовлетворении спроса суммарные затраты на производство и транспортировку продукции были минимальными.

Требуется:

1) Формализовать задачу управления размещением филиалов и транспортировку продукции.

2) Найти решение перебором всех возможных вариантов размещения филиалов и транспортировки продукции.

Решение:

1. Составим экономико-математическую модель

Пусть xij - объем перевозок от i-го филиала до j-го пункта, а

Тогда

Ограничения по мощности:

Ограничения по спросу:

Условия неотрицательности:......

Производственные затраты:...

Транспортные затраты:...

Суммарные затраты:...

2. Рассмотрим различные варианты строительства, чтобы суммарная мощность построенных филиалов была не меньше потребностей.

=...

=...

=...

=...

=...

1. Строим все филиалы y(1)=(1,1,1,1)

Вводим дополнительного фиктивного потребителя с объемом фиктивного спроса, равным разнице между предложением и спросом в исходной таблице: 90+140+160+90-180-140=160

Получаем транспортную задачу. Заполним матрицу перевозок методом минимального тарифа.

Филиалы Потребитель

2...3...0

180 140 160

0 90 2 90 3 0 0

0 140 5 3 140 0 0

0 160 8 9 0 160

5 90 7 90 4 0

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

Все условия оптимальности выполнены. Таким образом, мы получили оптимальный план:

=...

0 140 Транспортные затраты составляют:

=...

90 0

2. Исключаем первый филиал.... =...

Вводим дополнительного фиктивного потребителя с объемом фиктивного спроса, равным разнице между предложением и спросом в исходной таблице: 140+160+90-180-140=70

Получаем транспортную задачу. Заполним матрицу перевозок методом минимального тарифа.

Филиалы Потребитель

8...3...0

180 140 70

0 140 5 3 140 0 0

0 160 8 90 9 0 70

-1 90 7 90 4 0

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

Клетка с максимальной невязкой - клетка (1;1). Строим к ней цикл и переходим к следующей матрице перевозок

Филиалы Потребитель

5...3...-3

180 140 70

0 140 5 90 3 50 0

-3 160 8 90 9 0 70

-1 90 7 4 90 0

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

Получаем следующее решение:

=...

90 50 Транспортные затраты составляют:

=...

0 90

3. Исключаем второй филиал.... =...

Вводим дополнительного фиктивного потребителя с объемом фиктивного спроса, равным разнице между предложением и спросом в исходной таблице: 90+160+90?180?140=20

Заполним матрицу перевозок методом минимального тарифа

Филиалы Потребитель

2...3...0

180 140 20

0 90 2 70 3 0 20

-6 160 8 110 9 50 0

-1 90 7 4 90 0

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

Клетка с максимальной невязкой - клетка (2;3). Строим к ней цикл и переходим к следующей матрице перевозок

Филиалы Потребитель

2...3...-6

180 140 20

0 90 2 90 3 0

-6 160 8 90 9 50 0 20

-1 90 7 4 90 0

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

=...

Все условия оптимальности выполнены. Таким образом, мы получили оптимальный план:

=...

0 0 Транспортные затраты составляют:

=...

0 90

4. Исключаем третий филиал.... =...

В данном случае условие баланса выполняется (суммарный спрос равен суммарному предложению: 90+140+90=180+140)

Филиалы Потребитель

2...-1

180 140

0 90 2 90 3

-4 140 5 3 140

-5 90 7 90 4 0

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

Клетка с максимальной невязкой - клетка (2;1). Строим к ней цикл и переходим к следующей матрице перевозок

Филиалы Потребитель

2...0

180 140

0 90 2 90 3

-3 140 5 90 3 50

-4 90 7 4 90

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

Все условия оптимальности выполнены. Таким образом, мы получили оптимальный план:

=...

90 50 Транспортные затраты составляют:

=...

0 90

5. Исключаем четвертый филиалы.... =...

Вводим дополнительного фиктивного потребителя с объемом фиктивного спроса, равным разнице между предложением и спросом в исходной таблице: 90+140+160-180-140=70

Заполним матрицу перевозок методом минимального тарифа

Филиалы Потребитель

2...3...0

180 140 70

0 90 2 20 3 0 0 70

0 140 5 3 140 0

-6 160 8 160 9 0

Проверим план на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

3+6-9=0

=...

Клетка с максимальной невязкой - клетка (3;3). Строим к ней цикл и переходим к следующей матрице перевозок

Филиалы Потребитель

2...3...-6

180 140 70

0 90 2 90 3 0 0

0 140 5 3 140 0

-6 160 8 90 9 0 70

Составим систему уравнений для нахождения условно-поясных единиц. Находим невязки для пустых клеток:

=...

3+6-9=0

=...

Все условия оптимальности выполнены. Таким образом, мы получили оптимальный план:

=...

0 140 Транспортные затраты составляют:

=...

0 0

=...

=...

=...

=...

=...

Сравнивая полученные результаты, приходим к выводу об оптимальности третьего варианта размещения филиалов, а именно:

=...

0 0 Транспортные затраты составляют:

=...

0 90

Задача №3

Администрация производственной фирмы желает рассчитать еженедельную программу выпуска своих изделий А и В, которая дает максимум чистого дохода на рубль всех сделанных затрат. Изделие А гарантировано реализуется по цене 636,7 руб., а изделие В по цене 393,3 руб.

Расход сырья на изделие А составляет 4 кг., а на изделие В ? 5 кг. Расход оборудования на изделие А составляет 5 ст. час., на изделие В ? 5 ст.час. Минимальные объемы сырья и станочного парка, при которых не произойдет остановки производства составляют, соответственно: 650 кг и 750 ст.час. в неделю.

Фирма же имеет 1300 кг сырья и 1500 ст.час. оборудования. Себестоимости изделия А и изделия В (без учета заработной платы) составляют, соответственно, 394.0 руб., 200.0 руб. Сумма оплаты рабочих и служащих фирмы с другими накладными расходами составляет 10,20 тыс. руб. в неделю.

Требуется:

1) Формализовать задачу управления ресурсами фирмы и разработать рациональную программу выпуска изделий.

Решение:

1. Строим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим...?объем выпуска изделий А...?объем выпуска изделий В

Ограничения:

По сырью: 650...4...+ 5......1300

По оборудованию: 750...5...+ 5......1500

Условия неотрицательности......0......0

Выручка:...=636,7...+ 393,3...

Затраты:...=349...+200...+10200

Доход:...?...=403,7...+193,3...?10200

Критерий эффективности ? рентабельность:...

Получили задачу дробно-линейного программирования. Запишем математическую модель задачи:

0......0

4...+ 5......1300

?4...?5......?650

5...+ 5......1500

?5...? 5......?750

2. Найдем решение задачи симплекс-методом.

Введем балансовые переменные:

1300?4...? 5......0

?650+4...+5......0

1500?5...? 5......0

?750+5...+ 5......0

2.1. Исходная симплекс-таблица имеет вид:

?... ?... 1 Примечания

4 5 1300

-4 -5 -650... временная целевая функция

=...

-5 -5 -750...разрешающая строка

=...

=...

Разреш. столбец

Временная целевая функция. Выбираем в качестве временной целевой функции строку с отрицательным свободным членом.

Разрешающий столбец. В строке временной функции выбираем любой отрицательный элемент.

Разрешающая строка. Находится по минимальному неотрицательному отношению элементов столбца свободных членов к соответствующим им по строкам элементам разрешающего столбца.

?... ?... 1 Примечания

4/5 1 700

-4/5 -1 -50... временная целевая функция

1 0 750

=...

=...

=...

Разреш. столбец

В столбце свободных членов имеется отрицательный элемент. Поэтому проделаем операции по тому же алгоритму.

?... ?... 1 Примечания

0 1 650

= 4/5 -1 50... временная целевая функция

=...

-1 -1 100

=...

=...

Разреш. столбец

Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то переходим ко второй фазе симплекс-метода.

2.2. Обобщающим критерием оптимальности является неотрицательность определителей....

Так как условия оптимальности не выполняются для..., в качестве разрешающего столбца берем первый.

Минимальное симплексное отношение: min={650/1; 687,5/5/4}=550

?... ?... 1 Примечания

0 1 650

=...

-5/4 5/4 687,5

5/4 -9/4 162,5

=...

=...

Разреш. столбец

Так как условия оптимальности не выполняются для..., в качестве разрешающего столбца берем второй.

?... ?... 1 Примечания

1 -4/5 100

=...

=...

-1 9/5 1400

=...

=...

Так как определители положительны, получено оптимальное решение:...

Значение рентабельности:...

Данный результат свидетельствует о прибыли производственного процесса.

Задача №5

Администрация фирмы желает увеличить производство своих изделий за счет привлечения дополнительной производственной площади в объеме 13 кв. метров, а также покупки у машиностроительных фирм современных автоматов по производству аналогичной продукции на сумму 66 млн. рублей.

После изучения соответствующих рекламных проспектов подходящими для покупки признаны: автомат фирмы А, занимающий площадь 1 кв. метра, имеющий цену 5 млн. руб., и обладающий производительностью 23 изделий в час; а также автомат фирмы В, занимающий площадь 1 кв. метра, имеющий цену 8 млн. руб., и дающий производительность 36 изделий в час.

Администрацию интересует вопрос: в каких количествах нужно приобрести автоматы названных фирм, чтобы созданная дополнительная мощность имела наибольшую производительность.

Требуется:

1) Формализовать задачу управления закупками оборудования, как модель дискретного программирования.

2) Применить метод ветвей и границ и получить оптимальное численное решение.

Решение:

1. Строим экономико-математическую модель.

Обозначим:...- количество станков-автоматов фирмы А

- количество станков-автоматов фирмы В

Ограничения:...

целые

Критерий эффективности:...

2. Воспользуемся алгоритмом ветвей и границ. Для этого снимаем ограничение целочисленности переменных исходной задачи и решаем релаксированную задачу (0).

Задача 0....

Для контроля вычислений составим двойственную задачу:

Строим симплекс-таблицу. Для этого введем дополнительные балансовые переменные:

а так же балансовые переменные для двойственной задачи:

Составим симплекс-таблицу:

=

=...

=...

=...

=...

Так как среди элементов...-строки есть отрицательные, то решение не является оптимальным. В качестве разрешающего столбца выберем первый. Определяем разрешающую строку: min={13/1; 66/5}=11 - первая. Далее делаем шаг Жорданова преобразования:

=

=...

=...

=...

=...

Так как в строке... получено отрицательное значение, то решение не оптимально. Второй столбец выбираем в качестве разрешающего. Разрешающая строка - min={13/1; 1/3}=1/3- вторая.

=

=...

=...

=...

=...

Так как в...-строке все элементы положительны, найдено оптимальное решение задачи 0:

=...

Сделаем проверку:...

Для двойственной задачи:...

Так как решение не является целочисленным, в состав ограничений задачи 0 вводим дополнительные ограничения: либо...(подзадача 1.1), либо... (подзадача 1.2).

Задача 1.1....

=...

= 1 1 13

=...

= 1 0 12

=...

=...

=...

=...

=...

=...

-... -... 1

=...

=...

= 1 0 12

=...

Получили оптимальное решение задачи 1.1.:...(12; 3/4)...303

Задача 1.2....

-... -... 1

= 1 1 13

= 5 8 66

= -1 0 -13...временная целевая функция

=...

Так как в столбце свободных членов есть отрицательный элемент, то предварительным шагом в алгоритме симплекс метода будет поиск допустимого решения.

Выбираем строку с отрицательным элементом в качестве временной целевой функции. Отрицательный элемент в этой строке определяет разрешающий столбец.

=...

Следовательно, разрешающая строка совпадает с временной целевой функцией.

-... -... 1

= 1 1 0

= 5 8 1...

=...

=...

-... -... 1

= 3/8 -1/8 -1/8... временная функция

=...

=...

=...

-... -... 1

=...

= 1 8 0

=...

=...

Получили оптимальное решение задачи 1.2.:...(13; 0)...299

Так как решение задачи 1.2 целочисленное, то рассмотрим получили оптимальное решение. Таким образом, для того чтобы достичь наибольшей суммарной производительности 299 изделия в час, следует приобрести 13 станок-автомат фирмы А и 0 станков-автоматов фирмы В.

Задача 8.

Запишем данные задачи в виде таблицы:

№ Месяц Дополнительный

спрос Дополнительная

мощность Емкость склада Стоимость

переналадки Себестоимость

машины Затраты на хранение

1 Январь 7 12 3 5,1 23,2 0,3

2 Февраль 7 6 1 14,8 23,8 1

3 Март 7 9 1 5,1 24,7 0,8

4 Апрель 2 5 4 15,2 25,4 0,2

Пусть xt - количество дополнительно выпущенных автомобилей, а ht - объем хранения готовой продукции. Тогда спрос на автомобили определится следующим образом:

=...

Ограничения по спросу:

x1-h1=7

h1+x2-h2=7

h2+x3-h3=7

h3+x4=2

Ограничения по мощности:

0?xt?Mt

0?x1?12

0?x2?6

0?x3?9

0?x4?5

Ограничения по емкости склада:

0?ht?Et

0?h1?3

0?h2?1

0?h3?1

h4=0 (необходимо для минимизации затрат)

Определим затраты: ft - суммарные затраты на переналадку, производство и хранение продукции в месяце t:

=...

=...

=...

=...

Критерий эффективности:

Решаем задачу методом динамического программирования

Январь

Спрос x1 h1 f1=5,1+23,2x1+0,3h1 ?1=f1(x1,h1)

7 8 1 191 191

9 2 214,5 214,5

10 3 239 239

Февраль

Спрос h1 x2 h2 f2=14,8+23,8x2+h2 ?2=min{?1(x1,h1)+f2(x2,h2)}

=...

=...

=...

=...

=...

Март

Спрос h2 x3 h3 f3=5,1+24,7x3+0,8h3 ?3=min{?2(h1,x2,h2)+f3(x3,h3)}

=...

=...

=...

=...

Апрель

Спрос h3 x4 f4=15,2+25,6x4 ?4=min{?3(x3,h3)+f4(x4,h4)}

=...

=...

Находим оптимальное решение:

x4=1 h4=0

x3=6 h3=1

x2=5 h2=0

x1=9 h1=2

Стоимость переналадки: 5,1+14,8+5,1+15,2=40,2

Себестоимость машин: 23,2·9+23,8·5+24,7·6+25,4·1=501,4

Затраты хранения: 0,3·9+1·5+0,8·6+0,2·1=12,7

Итого сумма минимальных затрат: 554,3

Задача 7. Фирма может влиять дополнительным финансированием на скорость строительства своего торгового павильона. Очередность выполнения работ, их нормальная и ускоренная продолжительность выполнения, а также стоимость строительно-монтажных работ при нормальном и ускоренном режиме их выполнения приведены в следующей таблице:

Имя работы Опирается на работу Нормальный срок Ускоренный срок Нормальная стоимость Срочная стоимость

А E,H, 20 18 90 100

B G 30 27 135 150

C 40 36 180 200

D C,F,Q 10 9 45 50

E 33 27 135 165

F E,H 10 9 45 50

G V 10 9 45 50

H G 10 9 45 50

Q V 36 27 135 180

V 10 9 45 50

Требуется:

1. С учетом технологической последовательности работ построить сетевой график выполнения этих работ

2. Рассчитать временные характеристики сетевого графика при нормальном режиме выполнения работ. Найти критический срок, указать все возможные критические пути, определить стоимость всего комплекса работ.

3. Указать стратегию минимального удорожания комплекса работ при сокращении сроков строительства на 5 дней. В какую итоговую сумму обойдется фирме ускоренная стройка павильона?

Решение:

1. Построим сетевой график

2. Рассчитываем временные характеристики сетевого графика.

Временные характеристики событий:

Раннее наступления события -...

=...

=...

=...

=...

=...

=...

Находим...

=...

=...

=...

=...

=...

Критическое время...60 дней

Критический путь:...

Стоимость строительно-монтажных работ в нормальном режиме выполнения:

=...

руб.

Найдем резервы времени выполнения работ:

Свободный резерв -...

Полный резерв -...

Результаты запишем в таблицу:

Имя работы Свободный резерв... Полный резерв......

A 7 0 5

B 0 0 5

C 6 10 5

D 0 0 5

E 0 7 5

F 7 0 5

G 0 0 5

H 3 10 5

Q 0 4 5

V 0 0 5

3. Найдем стратегию минимального удорожания комплекса работ при сокращении сроков строительства сроком на 5 дней.

Найдем удорожание всех работ за 1 день по формуле:...

Сокращаем любую работу, принадлежащую критическому пути: сокращаем работу В на 3 дня. Удорожание комплекса работ при сокращении работы В на 3 дня:...тыс.руб

Новые критические пути не появляются.

Далее сокращаем работы V и D на 1 день. Удорожание комплекса работ при сокращении работ V и D на 1 день:... тыс.руб.

Удорожание комплекса работ при сокращении на 5 дней:...=15+10+11=25 тыс. руб.

Стоимость работ в ускоренном режиме: Sу=900+25=925 тыс. руб.