Вариант 1. Бомбить аэродром отправляются 3 самолета, 2 из них – бомбардировщики. Противник может выстрелить по двум самолетам

  • ID: 21059 
  • 5 страниц

Фрагмент работы:

Задача №1.

Бомбить аэродром отправляются 3 самолета, 2 из них – бомбардировщики. Противник может выстрелить по двум самолетам. При выстреле по самолету он поражает летящий первым с вероятностью 0,4, летящий вторым или третьим – с вероятностью 0,5. Аэродром разбомблен, если хотя бы один бомбардировщик уцелел. Сформулировать задачу как задачу теории игр. Найдите решение или укажите алгоритм нахождения решения.

Решение:

Данную задачу можно рассматривать как игру, в которой у 1 игрока (аэродром) есть три стратегии:

I: d1={выстрелить по 1 самолету, затем по 2}

d2={выстрелить по 1 самолету, затем по 3}

d3={выстрелить по 2 самолету, затем по 3}

У второго игрока (самолеты) есть 3 стратегии:

II: q1={бомбардировщик, бомбардировщик, небомбардировщик}

q2={бомбардировщик, небомбардировщик, бомбардировщик}

q3={небомбардировщик, бомбардировщик, бомбардировщик}

Определим потери 1 игрока в каждом случае. Будем считать, что если аэродром разбомблен, то потери 1 игрока равны 1, в противном случае -1.

Получили следующую матрицу потерь I игрока:

[image]

Для нахождения решения игры определим, имеет ли матрица потерь седловую точку:

[image]=1

[image]=0,6

Т.к. [image], то игра не имеет седловой точки и неразрешима в чистых стратегиях.

Укажем дальнейший алгоритм решения. Для нахождения решения составляем системы уравнений для прямой и двойственной задачи и находим их решение.

Задача №2.

Рассмотреть игру с матрицей потерь первого игрока [image]. Ответьте на вопросы: а) есть ли цена в простой игре; если есть, то найдите оптимальные стратегии игроков; б) если цены нет, то составьте системы уравнений для нахождения решения этой игры.

Решение:

а) для ответа на вопрос определим верхнюю и нижнюю цену игры:

[image]2

[image]0

Т.к. [image], то игра не имеет седловой точки и неразрешима в чистых стратегиях.

б) составим системы уравнений для нахождения решения этой игры. Не все элементы матрицы неотрицательны, поэтому прибавим ко всем элементам матрица число 2, чтобы все элементы стали неотрицательны. Получим матрицу [image]:

[image]

На основе полученной матрицы составляем системы уравнений для прямой и двойственной задач линейного программирования

прямая задача:

[image]

двойственная задача:

[image]

Задача №3.