Вариант 14. Илья Муромец может поехать либо вправо, либо влево, либо прямо, либо повернуть назад. Змей Горыныч может оказаться либо слева, либо справа

  • ID: 19411 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

1. Илья Муромец может поехать либо вправо, либо влево, либо прямо, либо повернуть назад. Змей Горыныч может оказаться либо слева, либо справа, но никак не сзади. Слева и справа Илья Муромец побеждает с вероятностью 0,8; погибает с вероятностью 0,2. Если же он найдет Змея Горыныча, то вернуться ему не суждено. Он считает, что в 7 раз ценнее победить, чем уцелеть. Сформулировать задачу как задачу теории игр. Найдите решение или укажите алгоритм решения.

Решение:

Рекомендации: понятно, что у Ильи Муромца есть 4 стратегии, а у Змея Горыныча – 3.

Вопросы:

1. Куда привязать «в 7 раз ценнее».

2. Кого он там побеждает? Если Змея Горыныча, то из фразы «вернуться ему не суждено» следует, что он погибает при встрече с ним. Так с кем он там борется и кого побеждает?

3. А если прямо или назад поедет, то побеждать некого?

4. Как найти вероятность движения в каждом направлении? Если использовать «в 7 раз ценнее», то получается, что он должен ехать в 7 раз чаще направо и налево, чем прямо и назад. Так ли это?

5. Для Змея Горыныча каковы вероятности оказаться в определенном направлении движения Ильи Муромца?

2. Укажите область значений p и q, для которых партия (2,2) будет седловой точкой в следующей игре с матрицей потерь первого игрока.

[image]

Решение:

Для ответа на вопрос определим верхнюю и нижнюю цену игры:

[image]

[image]

Чтобы игра имела седловую точку, должно выполняться равенство верхней и нижней цен игры: [image].

Чтобы партия (2,2) была седловой точкой, должны выполняться следующие условия:

max(2, min(q,6), min(p,3))=min(q,6)

min(2, max(p,6), max(q,5))=min(p,4)

min(q,6)=max(p,6)=6

Из последнего равенства получаем, что q=p=6. Проверим выполнение первых двух равенств:

max(2, min(6,6), min(6,3))=max(2, 6, 3)=6

min(2, max(6,6), max(6,5))=min(2, 6, 6)=2

Таким образом, задача не имеет решения.

3. В плановом году строительные организации города переходят к сооружению домов типов Д-1, Д-2, Д-3 и Д-4. Данные о количестве квартир разного типа в каждом из указанных типов домов, их плановая себестоимость приведены в таблице.

Годовой план ввода жилой площади составляет соответственно 800, 1000, 900, 2000 и 7000 квартир указанных типов. Исходя из необходимости выполнения плана ввода квартир и обеспеченности стройматериалами и трудовыми ресурсами, построить модель и сформулировать на ее основе задачу, анализ которых позволит обосновать объем капиталовложений в жилищное строительство на плановый год.

Решение:

Пусть xi - количество возводимых домов i-го типа, i=1,2,3,4.

Составим систему ограничений по плану ввода квартир: