Вариант 14. Илья Муромец может поехать либо вправо, либо влево, либо прямо, либо повернуть назад. Змей Горыныч может оказаться либо слева, либо справа

  • ID: 19411 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Вариант 14. Илья Муромец может поехать либо вправо, либо влево, ли…

1. Илья Муромец может поехать либо вправо, либо влево, либо прямо, либо повернуть назад. Змей Горыныч может оказаться либо слева, либо справа, но никак не сзади. Слева и справа Илья Муромец побеждает с вероятностью 0,8; погибает с вероятностью 0,2. Если же он найдет Змея Горыныча, то вернуться ему не суждено. Он считает, что в 7 раз ценнее победить, чем уцелеть. Сформулировать задачу как задачу теории игр. Найдите решение или укажите алгоритм решения.

Решение:

Рекомендации: понятно, что у Ильи Муромца есть 4 стратегии, а у Змея Горыныча – 3.

Вопросы:

1. Куда привязать «в 7 раз ценнее».

2. Кого он там побеждает? Если Змея Горыныча, то из фразы «вернуться ему не суждено» следует, что он погибает при встрече с ним. Так с кем он там борется и кого побеждает?

3. А если прямо или назад поедет, то побеждать некого?

4. Как найти вероятность движения в каждом направлении? Если использовать «в 7 раз ценнее», то получается, что он должен ехать в 7 раз чаще направо и налево, чем прямо и назад. Так ли это?

5. Для Змея Горыныча каковы вероятности оказаться в определенном направлении движения Ильи Муромца?

2. Укажите область значений p и q, для которых партия (2,2) будет седловой точкой в следующей игре с матрицей потерь первого игрока.

[image]

Решение:

Для ответа на вопрос определим верхнюю и нижнюю цену игры:

[image]

[image]

Чтобы игра имела седловую точку, должно выполняться равенство верхней и нижней цен игры: [image].

Чтобы партия (2,2) была седловой точкой, должны выполняться следующие условия:

max(2, min(q,6), min(p,3))=min(q,6)

min(2, max(p,6), max(q,5))=min(p,4)

min(q,6)=max(p,6)=6

Из последнего равенства получаем, что q=p=6. Проверим выполнение первых двух равенств:

max(2, min(6,6), min(6,3))=max(2, 6, 3)=6

min(2, max(6,6), max(6,5))=min(2, 6, 6)=2

Таким образом, задача не имеет решения.

3. В плановом году строительные организации города переходят к сооружению домов типов Д-1, Д-2, Д-3 и Д-4. Данные о количестве квартир разного типа в каждом из указанных типов домов, их плановая себестоимость приведены в таблице.

Годовой план ввода жилой площади составляет соответственно 800, 1000, 900, 2000 и 7000 квартир указанных типов. Исходя из необходимости выполнения плана ввода квартир и обеспеченности стройматериалами и трудовыми ресурсами, построить модель и сформулировать на ее основе задачу, анализ которых позволит обосновать объем капиталовложений в жилищное строительство на плановый год.

Решение:

Пусть xi - количество возводимых домов i-го типа, i=1,2,3,4.

Составим систему ограничений по плану ввода квартир: