Вариант 4: 4 задачи. Некто может поехать на автобусе, электричке или маршрутном такси. Цена билета соответственно

  • ID: 19407 
  • 5 страниц

Фрагмент работы:

Задача №1.

Некто может поехать на автобусе, электричке или маршрутном такси. Цена билета соответственно 3, 6 и 8 рублей. Если водители автобусов объявили забастовку, решивший ехать на автобусе, опаздывает и несет потери, равные 8 руб. В случае забастовки билеты на маршрутное такси дешевеют до 5 руб. Сформулировать задачу как задачу теории игр. Найдите решение или укажите алгоритм нахождения решения

Решение:

Данную задачу можно рассматривать как игру, в которой у 1 игрока (пассажир) есть три стратегии:

I: d1={поехать на автобусе}

d2={поехать на электричке}

d3={поехать на маршрутном такси}

У второго игрока (транспорт) есть 2 стратегии:

II: q1={водители автобусов объявили забастовку}

q2={водители автобусов не объявили забастовку}

Определим потери 1 игрока в каждом случае. Если забастовки нет, то 1 игрок теряет 3, 6 и 8 рублей соответственно. Если же есть забастовка, то в случае, если он решит поехать на автобусе, его потери составят 8 руб., если поедет на электричке – 6 руб., а если на маршрутном такси – то 5 руб.

Запишем матрицу потерь:

[image]

Для нахождения решения игры определим, имеет ли матрица потерь седловую точку:

[image]=6

[image]=8

Т.к. [image], то игра не имеет седловой точки и неразрешима в чистых стратегиях.

Укажем алгоритм решения игры.

Найти решение игры можно графическим методом. Т.к. 2 стратегии имеет 2 игрок, то графическим методом находится решение 2 игрока. Сначала составляем линейные функции, которые выражают ожидаемые выигрыши 2 игрока, соответствующие чистым стратегиям первого игрока

[image]

Строим эти прямые на графике на отрезке 0..1 и находим нижнюю огибающую этих прямых. Самая высокая точка этой огибающей будет решением игры.

Задача №2.

Рассмотреть игру с матрицей потерь первого игрока [image]. Ответьте на вопросы: а) есть ли цена в простой игре; если есть, то найдите оптимальные стратегии игроков; б) если цены нет, то составьте системы уравнений для нахождения решения этой игры.

Решение:

а) для ответа на вопрос определим верхнюю и нижнюю цену игры:

[image]2

[image]1

Т.к. [image], то игра не имеет седловой точки и неразрешима в чистых стратегиях.

б) составим системы уравнений для нахождения решения этой игры. Не все элементы матрицы неотрицательны, поэтому прибавим ко всем элементам матрица число 6, чтобы все элементы стали неотрицательны. Получим матрицу [image]:

[image]